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人生可數集

人生可數集

作者:劉宇昆
「換句話說,無理數要比有理數多得多,幾乎所有的實數都是無理數。同理可以證明,幾乎所有的無理數都是超越數而不是代數數。儘管與日常生活息息相關的超越數沒有幾個,比如π和e,但數軸的大多數都是由超越數構成的,你們這些年在學校學到的數學大部分只集中在這個連續體的微小斷面上。」
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自打記事兒起,他就不善與人交流。他以為自己明白別人在說什麼,結果卻不是這樣,他根本就沒明白。言語的含義有時跟詞典上的解釋正相反。儘管他全神貫注地傾聽、小心翼翼地表達,大家似乎還是毫無理由地生他的氣。他找不到歸屬感,世界似乎缺乏理性,這令他既憤慨又沮喪。然後,他會跟人打架,當然他贏不了,因為他不知道打架的目的何在。
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「他思考無限的大小。」吳老師說,「人類很難理解無限的概念,但是康托為我們在頭腦里認識它和掌握它提供了可能,哪怕這種可能只存在一瞬間。
噢,多麼沉重!
——沃爾特·惠特曼《我自己的歌》
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不管傑克喝醉還是清醒,他一看到戴維那雙眼睛就會憤怒不已,「你這該死的娘娘腔和小混蛋,跟你那死老爹一個德性!」
「這孩子把書扔得到處都是。」傑克審視著地板上到處都是的書垛說,「走過去肯定會踢倒哪一摞的。這麼多書有啥用?我從來沒看你讀過。」
關於父親為數不多的回憶之一,是那次全家一起去美特爾海灘旅遊。戴維甚至不能確定那份記憶是真是假,因為那時他還很小。
剩下的就是科學書籍了,他如饑似渴地閱讀,彷彿它們是別的孩子手中的童話故事,比如這本書寫道:
他推開門。
他覺得,這就是一個那種令他「開口而笑」的時刻。
暗影區域是我們大腦的預設模式,當前沒有什麼緊要事情纏身的話,我們的大腦就會飄向這種狀態。只要沒有考慮某件特定的事情,我們就在時間中飄移,擺脫「現在」的束縛,漫步于無數條生活之路,那些我們選擇過的、放棄過的以及未曾企及的生活之路。
父親看著他,他也回以凝視。這種熾烈的凝視別人也許會感覺不舒服,但他父親報以微笑,「戴維,那會需要無限的時間。」
「但是,即使﹞1仍然是一種非常小的超限數,數目大得多的集合還有很多很多,那才是真正的無限中的無限,隨後幾天我們會講到。康托首次闡述它們的存在時,一些神學家被他的著作嚇得不輕,他們認為康托在挑戰上帝的絕對權威和至尊地位。
他看一眼廚房門,接著站了起來。
大多數人會認為這是一個理性時刻,戴維想。
平緩流動的沙子彷彿會施魔法:固體沙粒像液體一樣流淌、滑落,從藍色塑料鏟子上翻滾著墜入桶中,他完全被這情形迷住了。兩鏟。
「看著我。」傑克說。他們吃著晚餐,貝蒂在沙發上喂小寶寶,只有他們倆在桌上用餐。角落裡的電視大聲地播放著晚間新聞。
「你以為自己很聰明,是嗎?」他想象著傑克惡毒的目光,浸在唾液中的黃牙和充滿酒氣的呼吸,「跟你那死爹一個德性。你瞧,他沒管住自己的下半身,結果再聰明又有個屁用!」
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看得出傑克沒有大醉特醉,他站得很穩。貝蒂引以為傲的柔順長發在傑克的手上纏了幾圈,被他攥在手裡。貝蒂跪在地上,手拉著傑克拽著頭髮的手。嬰兒早就被放在了沙發上,此刻她正在拍打著手臂,哭泣造成的呼吸困難令她的臉憋得通紅。
「這孩子整天坐在那裡看書,有些不對勁兒。看看他,我們回來這麼長時間,他一句話都沒說。他這樣兒我可受不了。嘿,我說你呢!」
他沒有打她的臉,戴維想,這很明智,否則鄰居也許會問起的。
貝蒂繼續撫摸他的背,他發現父親已經不再注視自己,而是在看著母親。
……心理評估……讓他轉到青少年司法審判……
他沒有看律師的臉,因為他在人們臉上很少發現有用的東西。相反,他感興趣的是對方藍色外套上的紐扣。三枚大紐扣,都是黑色,上下兩枚是圓的,中間一枚是方的。
也許這個世界不合理的原因是他計算的方式不對。也許他與整九*九*藏*書個世界脫節了。
「其實,也沒什麼。不是什麼大問題。戴維的表現說明他不善於與同伴建立情感聯繫。他把什麼事兒都當真,結果——我們只是認為他應該……怎麼說呢?得到正確的診斷。」
戴維有一張父親高中畢業那天拍攝的照片,他小身板上的學位服和帽子似乎大了好幾碼,精緻的五官仍然顯出一股孩子氣,特別是鼻樑顯得瘦削而又優雅。他沒有對著鏡頭微笑,似乎充滿恐懼的眼睛正凝視著無窮遠處的某個東西。或許他正在想念戴維,那個貝蒂剛剛懷上的孩子;或許他正看著那輛剎車失靈的卡車,五年之後,就是這輛卡車在他從夜間檔案管理員崗位下班回家的路上把他撞倒。
戴維拿起書和筆記,回到屬於他和嬰兒兩個人的卧室。嬰兒正在打盹,戴維望著她的臉,那麼地平和,連客廳里轟鳴的電視節目都被他拋在腦後。
戴維坐在桌旁,沿著紙畫了一條垂線,並在底部和頂部分別標出0和1,然後,他試圖標出0到1之間的有理數序列,所依從的順序就是吳老師畫在黑板上的笛卡爾平面中的康托映射折線。他為序列中的每個有理數劃出一條短短的橫線,漸漸地,整張紙都被他填滿了。
戴維把臉轉向一旁。他不善於察言觀色,也無法解釋當時他在母親臉上看到的表情。那感覺就像是看見她沒穿衣服。
二,吳老師放在他肩膀上的手。
不過那些理性的時刻也不值得算計。他終於弄明白,那不是他的錯。真正了解到非理性才是常規而非例外,進而明白大多數的非理性都超越認知,就算我們對非理性的認識少之又少,這難道不大快人心嗎?生活沒什麼道理,也不需要有。神學家為什麼害怕康托?這是一個值得慶祝的真相,只有這樣卓爾不群的快樂時刻才應該被銘記。
橫線逐條積累。隨著平面上每條向上升起的折線,橫線會達到一個新的高度,然後落向橫軸的折線又會引導橫線有條不紊地逐步下降,填滿空白的空間。
無窮無盡壓迫著有限的我。
﹞1
「考試時我走到你旁邊,發現你寫下了正確答案。你答得比所有同學都快,然後你就坐在那兒望天,直到半數同學都交了卷子,我看見你在交卷之前擦去了答案。」
「格奧爾格·康托是對無限進行嚴肅思考的第一人。」吳老師對學生們說。
他把遙控器擲向戴維。遙控器重重地砸在他胸前,然後又摔在地上。嚇了一跳的戴維抬起頭,他們四目相對,片刻之後,傑克罵了一句,然後一把將貝蒂推向一邊。
沙粒像麵粉和精鹽一樣細膩。他感慨著從產生想法到此時此刻,有多少沙粒從鏟子滾入桶中。三鏟。假如他特別努力地凝視,他能看清楚其中的沙粒嗎?四鏟。他屏住了呼吸。
數學俱樂部是戴維的秘密,他冒著風險參加進來。參加任何俱樂部都會暴露你自己的某個方面,如果你打算不留痕迹地泯沒于眾人之間,這樣做就會適得其反。
「我們得清理一下這個豬窩,」傑克說,「你用不著的東西太多了。」
嬰兒的哭聲越來越大,一股難以忍受的疼痛在戴維的頭腦中悸動。他從未感到如此憤怒和無助,疼痛和恐怖的感覺根本無法抑制。他唯一能做的就是操縱思維中的符號,可這沒有一點兒幫助。戴維的表現說明,他不善於與同伴建立情感聯繫。他把什麼事兒都當真。
「比你數完我手巾上的三角形還久。」貝蒂說。他感覺到母親的手輕輕地撫過自己的後背,涼爽而又光滑。他的背部放鬆下來,那種感覺可真好。
「數盡沙灘上的所有沙子需要很久。」
那雙藍色的眼睛和長長的睫毛,跟戴維的一模一樣。
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譯/耿輝
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……訴狀……審判前聽證會……正當防衛……專家證人……
他記得自己用一把塑料鏟挖沙子——鏟子是紅色還是黃色?至少此刻的回憶中鏟子是藍色的,跟律師女士的外套一個顏色——貝蒂在一旁曬太陽,父親正在幫他拎走挖進塑料桶的沙子。
「אo混淆了我們的直覺。在上面的圖中,你們能看出出0到1之間的所有有理數佔據了所有正有理數平面的一半空間,其他所有的正有理數佔據了另一半。然而,這一半並不比另一半或整個平面更大。把無限平分,仍然得到無限。把數軸換成一個平面,即無限乘以無限,還是會得到同樣大小的無限。
「然https://read•99csw.com而康托的觀點比這還要離奇。使用同樣的方法,你可以證明0到1之間的有理數同所有的正有理數一樣多。
傑克來得越來越頻繁,有時還會留宿。戴維仔細地分類列舉母親身上出現的變化並加以分析,從而得出他無法直接獲得的線索,比如,母親像電影中的年輕女孩那樣歡笑、穿上戴維從未見過的裝束,以及,在他們的公寓里,傑克的私人物品積攢得越來越多。
「記住,假定這樣能逐一列舉出所有實數。但是,我們可以輕易地構造一個不屬於這個數列的實數。取數列中第一個數的第一位,寫下一個與之不同的數字;取數列中第二個數的第二位,再寫下一個與之不同的數字;沿著對角線向下繼續用同樣方法寫出數字。
不僅我們對於當前的感覺不可靠,而且我們的絕大部分時間都沒有花在當下。暗影區域是大腦沿著記憶之路模擬未來的地方。我們重新體驗過去的經歷、從中汲取經驗、窮儘可能為未知的將來做打算。我們想象自己處於別的時間點,在這個過程中,我們彷彿分身一般經歷多重人生。
其實我們人類在大腦中這些暗影區域鍛煉著最不可思議的能力,一種比人類語言、數學、戰鬥和賦詩更加獨特的能力。我們在那些暗影區域進行時間旅行。
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戴維再次倒下,他低頭髮現自己的手沾滿鮮血,刀也扔在地上。傑克不再出聲,他一動不動地靠著沙發坐在地板上,周圍是一攤鮮血。貝蒂朝著戴維爬去。
所以戴維清楚自己不能直視傑克的眼睛,傑克在旁邊的時候他總是努力把目光轉向別處。有些晚上這招很管用,但今晚不行。
「康托無與倫比地認識到這種解釋是不正確的。有一種方法可以把每個自然數映射到一個正有理數,這樣你就可以看出這兩個集合同樣大。
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他逐漸明白大家在同時進行兩種交流:一種用語言,另一種用表面上無關緊要的信號——聲音里的暗示、微微傾斜的腦袋、瞟向別處的一隻眼睛、交叉的雙腿、抖動的手指、撅起的嘴唇和皺起的鼻子。這些語言之外的語言,他無法領會,人們認為是理所當然的法則,他卻對此一片茫然。
——埃德娜·聖·文森特·米萊《新生》
跟π一樣,幾乎世間所有的數都是超越數,可大多數人對它們不感興趣。儘管有理數彷彿散布在超越數這座汪洋大海上的小小孤島,但人們還是被它們所吸引。
與圓面積相等的正方形當然無法只用尺規求得,這個問題需要計算π的平方根,但π不是有理數。它甚至不僅僅是無理數,它連規矩數都不是。它不是代數數,所以不能充當某個盤踞笛卡爾平面的多項式的根。它是超越數,可是數千年來,人們還是費盡心機從事著這項傻瓜任務,試圖把不可能變為可能。
桌對面的律師女士正在和坐在他身旁哭泣的母親談話。他母親可能認為她們正在討論的事非常重要且律師的建議也很明智,可是,戴維對她那套官腔並不十分感興趣。時不時地,她們的隻言片語會衝破他的意識,而他任那些聲音飄在腦海,一如池塘上的落葉。
「似乎是說,部分可以跟整體一樣大,整條無限長度的有理數軸能夠映射到看似長度有限的0和1之間。正所謂,一沙一世界。」
「你們認為正有理數和自然數這兩種無窮集合哪一個更大?
貝蒂繼續道歉,想要對傑克和自己解釋清楚,這個世界究竟是怎麼回事。
「你在數沙子?」他父親問。
「什麼意思?」貝蒂問,「你說戴維有什麼不對勁兒的地方?」戴維感到母親緊緊攥著他的手。他很高興校長的話連母親都難以理解。
「稍微修改一下我們的路徑,使它保持在p=q這條線以下,我們就能列舉出0到1之間所有的有理數。既然自然數與正有理數之間存在一對一的映射或稱雙射,自然數與0到1之間的有理數也存在雙射,所以我們知道,這三個集合是一樣大的,即擁有相同的基數。所有自然數集合的基數用希伯來字母א命名,稱為אo。
座談室跟電視劇里展現的一樣:除了桌子和摺疊椅,室內一派灰色,熒光read•99csw.com燈明亮又刺眼。然而,電視劇從來沒提到地板消毒水的氣味。曾經在這個房間里來了又去的那些人留下了絕望和汗濕的氣息,消毒水並不能把它們掩蓋。
尚且年幼的戴維正翻著書,貝蒂跟傑克出去了,而他自己被鎖在家裡。貝蒂離開的時候,警告他不許接電話、應門或讓任何人知道他在家裡。他沒覺得這有什麼異常,在他的心目中,所有八歲男孩在父母約會時都是這麼度過的。父親留下的成箱的書籍伴隨著他,這遠比其他人或傑克的陪伴更讓他喜歡。
「他沒有問題,」貝蒂說,「只是害羞。他父親過世了,誰碰到這樣的事都會變得有些內向。」
她走到戴維的課桌旁,把最近一次的測試卷放在他面前,「你在最後一頁做出了正確答案,但是你把它們擦掉了,為什麼?」
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戴維說不出話,只覺得一股隱隱的熱力從自己體內升起,噎在喉嚨里,令他喘不出氣。他伸手去抓傑克的手,傑克看都沒看就把他摔在了地上。
「綜上,無理數的基數一定大於אo,因為兩個אo集合只能得到אo集合,不會得到﹞1集合。其實我們已經證明,無理數是不可數的——即無理數集合的基數是﹞1。
吳老師只是這個學期的實習老師,年輕漂亮,學生們都喜歡她。她也遠沒有達到玩世不恭得對學生們毫不在意的地步。
「也許你們會很自然地認為正有理數比自然數要多得多,畢竟,在0到1之間就存在無窮多個有理數,而且每兩個連續自然數之間的這種間隔也有無窮多個。無窮乘以無窮一定比單獨的無窮要大。
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鑰匙開門的聲音響起,貝蒂和傑克踉蹌地走進來。戴維停下閱讀,抬頭看他們。隨著香煙、汗水和酒精的氣味,一小股涼風吹來,混進室內陳腐燥熱的空氣里。傑克撲通一聲倒進沙發並打開了電視。貝蒂從廚房接了半杯水拿出來,笑著走向傑克,然後失去平衡,倒在了傑克的膝蓋上。那杯水奇迹般地一點兒沒灑。她踢掉高跟鞋,伸手摟住了傑克的脖子。
我們大腦的幾個部分:包括額葉、頂葉和內側顳葉,只有在我們沒有進行認知行為的時候才被激活。如果我們在計算12391424與38243231的和、盤算如何從家出發去參加下一場工作面試或者閱讀最新的共有基金簡介,大腦的這些區域在MRI大腦掃描中呈現暗影,可是一旦我們沒有積極地思考什麼,這些大腦暗影區域就會明亮起來。
設計師可能想把方形紐扣做成跟圓形的一樣大,這是一個古老的問題:僅用尺規,求與圓面積相等的正方形。他想知道這個設計的初衷是不是一個玩笑,但對此又有些懷疑。別人的幽默感總是令他迷惑。也許設計師跟他一樣對這個問題感興趣,並以此來闡釋數學的朦朧之美。
他低頭看著自己的手,吃驚地發現手上握著廚刀。像背向行駛方向的乘客。冰冷的刀刃上反射著燈光。
第二天,傑克和貝蒂把所有書籍都打包賣給了廢品站。
他不斷畫下的線條永遠也不會填滿數軸,現在他明白了,線條之間的無理數空間是無限的,那張圖永遠不會填滿,也不會有什麼意義。生命亦不能只局限於它那些理性的時刻。
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過去不再是過去,同一時刻會再三經歷,而且每次都會有新的體驗。假如時間足夠,空白會被有理數填滿,橫線會構成一幅圖像。世界是合理的,你只需要等待罷了。
他厭倦了追逐不可能,厭倦了把世界變得更加理性的嘗試。
有限的生命中有無限個瞬間,誰規定你必須活在當前,按部就班地經歷人生呢?
沙子有些熱,但不會令人感到不適。沙灘上,人們的聲音已經變得模糊不清。一鏟。
「遠遠超過你我擁有的時間。我給你講講中國哲學家莊子曾經說過的話吧:人上壽百歲,中壽八十,下壽六十,除病、瘦、死、喪、憂、患,其中開口而笑者,一月之中不過四五日而已矣。天與地無窮,人死者有時。操有時之具,而托于無窮之間,忽然無異騏驥之馳過隙也。不能說其志意、養其壽命者,皆非通道者也。」
「假設實數是可數的無限集合,那麼必定存在從自然數到實數的雙射。實數肯定能一個接一個地數下來。因為每個實數可以用十進位數字寫成一個無窮序列——如果不是無窮小數,只需要在末尾補上無數個零即可——我們可以假設一一列舉實數的方式如下:
四,沿著對角線無限延伸的數字序列。
計算機可以從長read.99csw.com效存儲器取回原始數據並在臨時存儲器中進行處理,與此不同的是,大腦的記憶——激活電壓的模式——在原地被處理,所以每次我們的回憶都會改變記憶。我們沒法兩次邁進赫拉克利特之河的同一地方,不僅因為我們不能親身回到過去,還因為我們每時每刻的記憶都在不斷變化。
「反正那些書你也讀不了,」貝蒂想要安慰一下戴維,「連我都讀不明白。我們不能在生活中止步不前。」
大腦的時間感呈現出一個接一個的謎團。很難說大腦如何感知時間流逝,即從現在到未來和從過去到現在的穩步更迭。是否存在一簇神經元,有條不紊地脈動,扮演著節拍器或現代集成電路中時鐘信號的角色?還是經由神經元次第傳輸的激活電壓用模擬延遲為我們呈現時間的流逝?也許神經傳遞介質的化學融合能測量時間,這也許能解釋,催生多巴胺的藥物,比如可卡因,對我們產生影響時,我們的時間感為何會變慢。
貝蒂泣不成聲地否認著。傑克開始用抓著頭髮的手猛擊她的腰腹。
「就算僅僅了解﹞1比אo還大,也會讓我們發現一些奇妙的事實。已知有理數是可數的,基數為אo。但是,實數是有理數集合與無理數集合的並集,而實數的基數又是﹞1。
或許傑克又被炒魷魚了,或許他跟街區那邊的越南小老闆吵架了,或許他到家以後不喜歡貝蒂的裝束,或許他想靜一靜的時候嬰兒又哭了。
他當時一點也不擔心。警笛愈來愈響,他母親打開前門,警燈刺眼的光線灑進客廳。他正坐在沙發上等待,卻不怎麼害怕。他母親恐懼不安,嬰兒感受到她的焦慮,又開始大哭起來。他把嬰兒抱進搖籃,還試著對她解釋說沒理由哭鬧。大多數時刻都是非理性的,他對嬰兒低聲說,此刻也不例外。
戴維發現傑克這個人最難搞清楚,他想不出有什麼規律能預測傑克的爆發。
他點點頭,外界的聲音和景象重新湧進他的意識,他喘息著,如同換氣的游泳運動員。
「什麼是無限?」
對於這種無法言說的第二種語言,他千辛萬苦地想去勾勒明晰的理論、推導複雜的規則。多年以來,在不斷嘗試和犯錯的過程中,他得出了一套貌似可行的判斷標準,按此行事,他便不再被人所關注。他可以表現出用功的樣子,但又不是特別刻苦地學習,這使得他平安度過了大部分的中學時光。
「下流坯子,」他冷靜地說,「我得給你上一課。他是誰?!」
貝蒂抱著嬰兒進了卧室。一聽到傑克用這種腔調,她就會離開。
卧室外邊,貝蒂發出一聲尖叫打斷了戴維的思緒,嬰兒也隨之哭起來。弱小軀體發出驚人的哭聲,令戴維吃驚,那是她在用洪亮的聲音渴求公正和理解,既無畏又悲傷。嬰兒停下來喘息的時候,戴維可以隱約聽見貝蒂用壓抑的聲音在懇求什麼,接著傳來了盤子砸在地上的聲音。
貝蒂察覺到自己有點兒破壞氣氛,便沒有再說,而是去吻傑克。
「把這些新的數字排列起來,你就得到一個新的實數。但它不同於數列中的任何一個。因為它的第一位與第一個數的不同,第二位與第二個數的不同,第三位與第三個數的不同,以後各位皆是如此。
「沿對角線取出數字,再把它們用其他數字替換,用這種方法可以構造無數個不屬於數列的實數。所以不存在從自然數到實數的雙射,無論你如何排列實數,它們中的大多數還是會被你漏掉。實數是無限集合,但是它比基數為א的集合大得多。實數比自然數多得多,所以沒法逐個數出來。我們把這種無限不可數集合的基數稱為﹞1。
三,「他沒有問題,只是害羞。」
理想情況下,他每門功課的成績都得「良」才能夠默默無聞地埋沒在眾人之間,可是在數學課上,他很難做到。他一直喜歡數學的確定性、合理性,以及對錯之間的準確含義。在數學測試的時候,故意犯錯他做不到,因為他覺得那就像背叛。他所能做的,只有在每次測試中,解答問題之後再擦去幾道題的答案。
「我供你衣食住行,只要求你表現出最起碼的尊敬。我跟你說話時,你坐好了看著我。」
他任憑自己的思緒從當下遊離開去,這些所謂的理性時刻並沒有引起他的興趣。它們只佔生命的一小部分。
「你清楚,擅長什麼或者對什麼事情感興趣,」她把手放在戴維肩頭,她身上散發出剛剛洗過的衣服的氣味,彷彿夏花,「不是一件壞事。」
引起別人善意的興趣已經不知是多久之前的事兒了,戴維甚至不知道自己懷念這種感覺。
「你就一直鼓搗那些數字和書吧,早晚你https://read•99csw•com得變成華爾街那些騙子!」傑克說,「這個國家沒有人再用雙手誠實勞動了,這就是為什麼中國人正在分享我們的午餐。」
「根據我們上次所學,」吳老師說,「你們也許會認為所有的無限集合的基數都是?0,其實不然。無限可數集只是無限集合中最小的那種。
戴維盯著捲紙,上面空空蕩蕩的。他奇怪吳老師是怎麼知道的,他從來都小心翼翼地輕輕下筆,然後再用力地擦掉,儘可能不留下一點兒印記,一如他生活中的行事風格。
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五,就是現在,此時此刻。
貝蒂在地上蜷曲著身體,房間里的燈已經壞了。從後面也能看出,傑克一點都沒有手下留情,他那起伏的黑暗身影緩慢地舉起一隻拳頭。嬰兒再次尖叫起來。
「課後請留一下,戴維。」吳老師在下課鈴響的時候說。幾名學生飛快地回頭看了他一眼,好奇他犯了什麼錯。不過教室里的學生很快就走光了,只剩下戴維一個人坐在座位上。
無論如何,研究似乎表明我們更大程度上生活在當前時刻的假象中,而不是真的生活在當下。儘管你的眼睛也許先發現你的腳踏到地面,瞬間之後神經脈衝才把真正的感覺從腳底送到大腦,但你覺察不出延遲。大腦位於頭蓋骨包圍的黑暗之中,來自身體各處的信號在最慢的一個到達大腦之後才合成出「現在」的感覺,這表明關於「現在」的自主意識被延遲了,有點類似「現場」直播。我們也許有點像背向行駛方向的乘客,總是在經過「現在」之後的瞬間,感知它的存在。
「一個正有理數可以表示為p/q,其中p和q都是自然數。沿著圖中的方向,我們可以肯定每個正有理數都會出現在平面中這條折線上(有些重複出現):第一個是1/1,第二個是2/1,第三個是1/2,第四個是3/1,第五個是1/3,第六個是4/1,第七個是3/2,第八個是2/3。照這樣數下去,我們就把每個自然數映射到一個正有理數,即使正有理數集看上去比自然數集大得多,其實它們還是同樣大。
在吳老師的課本上,那一章的開頭引用了兩首詩。戴維通常不怎麼喜歡詩歌,因為寫詩的語言似乎也是那種語言之外的語言,他難以理解其中的比喻和意象。然而這兩首詩卻不一樣,它們似乎道出了戴維的感受:
「你還敢笑我,小兔崽子。你找打嗎?」
「然後他就遇見了你。」傑克躲開她的吻,用下流的聲音說。他隔著衣服撫摸貝蒂的胸部,貝蒂紅著臉伸手去阻止。傑克撥開她的手,笑了起來。
戴維希望自己有繼父那樣的體重、粗壯的手臂、巨大的拳頭和扁平的鼻子,可以承受一記重擊的鼻子。他希望自己擁有尖牙與利爪。
他並不特別喜歡小說,可還是強迫自己孜孜不倦地閱讀,他把它們當做教科書,從中去研習那些他無法領悟的社交慣例與情感法則。他更偏愛數學書籍和其中的優美方程、奇妙圖表,以及他都不會發音的那些奇怪符號。
貝蒂的懇求和嬰兒的哭鬧漸漸變成他頭腦中陣陣襲來的疼痛。時間似乎變慢,他的意識開始飄移,脫離這一刻。
戴維一言不發,他喜歡吳老師的聲音像這樣傾瀉下來,他把這想象成多項式曲線,平緩地先上升再下降。她說話間的停頓就是多項式的根、曲線和x軸的交點。
戴維聽從了他的要求,努力保持著面無表情的樣子,讓雙眼聚焦在他繼父身後的某個地方。他計算著傑克爆發之前的秒數,只有這樣他才能好受一點兒。每晚最難熬的就是這種等待,不確定傑克回家時心情如何、將有怎樣的舉動。不過現在等待結束了,他只需要忍受就行了。
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最後,貝蒂哄著傑克跟她走進卧室,客廳里只留下戴維一個人。慢慢地,他舒展身體,拋開疼痛,把那本書支在大腿上。
「多久?」
「別動。這都是你沒法教給那孩子的。」
我遼闊廣博,我包羅萬象。
……有點兒古怪……安靜、害羞、溫和……
「舉例來說,所有實數集合是不可數的無限集合,它要大得多。康托找到了證明的方法。
「他爹是個書迷,」貝蒂說,「學習成績特別優秀,考進了弗吉尼亞大學。」
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一,美特爾海灘。
……找不到病因……高水平……某種形式的虐待……
大腦操控時間的能力大部分還沒有被開發。如果說感覺的同時性在很大程度上是一種幻覺的話,那我們感受到的線性經歷也是以同樣的方式構造出來嗎?我們似乎是在掠過時間之河,只是不時地根據意願感知現在。如果創傷或疾病影響到大腦有關區域,我們是否就能把自身經歷切成越來越薄的切片,然後不按順序體驗它們,或者永遠離開現在,迷失在時間里?