2的平方根是第一個有待發現的無理數，這一無理數是早期的畢達哥拉斯派就已經知道了的，並且還發現過種種巧妙的方法來求它的近似值。最好的方法如下：假設有兩列數字，我們稱之為a列和b列；每一列都從1開始，每下一步的a都是由已經得到的最後的a和b相加而成；下一個b則是由兩倍的前一個a再加上前一個b而構成。這樣所得到的最初6對數目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。在每一對數目里，2a2-b2都是1或者是－1。於是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一步都越發地與之接近。例如，讀者們將會滿意地發見，99B70的平方是非常之接近於與2相等的。

古代天文學家推算地球、日、月的大小以及日與月的距離時所使用的各種方法在理論上都是有效的，但他們卻受到了缺乏精確儀器的掣肘。想到這一點，他們的許多成果就真是令人驚嘆了。伊拉托斯蒂尼推算地球的直徑是7，850哩，這隻比實際少五十哩。托勒密推算月亮的平均距離是地球直徑的29又1/2倍；而正確的數字是大約30.2倍。他們之中還沒有一個是多少接近到太陽的大小和距離的，他們都把它估計得太低了。他們的估計若以地球的直徑來表示的話，則

歐幾里德的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。當然他也具有典型的希臘局限性：他的方法純粹是演繹的，並且其中也沒有任何可以驗證基本假設的方法。這些假設被他認為是毫無問題的，但是到了十九世紀，非歐幾何學便指明了它們有些部分是可.以0錯誤的，並且只有憑觀察才能決定它們是不是錯誤。

我在本章里要討論的是數學，並不是由於數學本身的緣故，而是因為它與希臘哲學有關係——有著一種（尤其是在柏拉圖的思想里）非常密切的關係。希臘人的卓越性表現在數學和天文學方面的，要比在任何別的東西上面更為明顯。希臘人在藝術、文學和哲學方面的成就，其是好是壞可以依據個人的口味來評判；但是他們在幾何學上的成就卻是無可疑問的。他們從埃及得到了一些東西，從巴比倫那裡得到的則很少；而且他們從這些來源所獲得的東西，在數學方面主要地是粗糙的經驗，在天文學方面則是為其非常悠久的觀察記錄。數學的證明方法，則幾乎是完全起源於希臘。

歐幾里德——當我年青的時候，它還是唯一被公認的學童幾何學教科書——約當公元前300年，即當亞歷山大和亞里士多德死後不久的幾年，生活于亞歷山大港。他的《幾何原本》絕大部分並不是他的創見，但是命題的次序與邏輯的結構則絕大部分是他的。一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多麼值得讚歎。他用有名的品行定理以處理品行線的辦法，具有著雙重的優點；演繹既是有力的，而又並不隱飾原始假設的可疑性。比例的理論是繼承攸多克索的，其運用的方法本質上類似於魏爾斯特拉斯所介紹給十九世紀的分析數學的方法，於是就避免了有關無理數的種種困難。然後歐幾里德就過渡到一種幾何代數學，並在第十卷中探討了無理數這個題目。在這以後他就接著討論立體幾何，並以求htｔｐｓ://rｅad•99ｃsw•ｃｏｍ作正多面體的問題而告結束，這個問題是被泰阿泰德所完成的並曾在柏拉圖的《蒂邁歐篇》里被提到過。

羅馬人的頭腦太過於實際而不能欣賞歐幾里德；第一個提到歐幾里德的羅馬人是西賽羅，在他那時候歐幾里德或許還沒有拉丁文的譯本；並且在鮑依修斯（約當公元480年）以前，確乎是並沒有任何關於拉丁文譯本的記.載.。阿拉伯人卻更能欣賞歐幾里德；大約在公元760年，拜占庭皇帝曾送給過回教哈里發一部歐幾里德；大約在公元800年，當哈倫.阿爾.拉西德在位的時候，歐幾里德就有了阿拉伯文的譯文了。現在最早的拉丁文譯本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年從阿拉伯文譯過來的。從這時以後，對幾何學的研究就逐漸在西方復活起來；但是一直要到文藝復興的晚期才做出了重要的進步。

攸多克索還發明了或者是完成了「窮盡法」，它後來被阿幾米德運用得非常成功。這種方法是對積分學的一種預見。譬如，我們可以舉圓的面積問題為例。你可以內接於一個圓而作出一個正六邊形，或一個正十二邊形，或者一個正一千邊或一百萬邊的多邊形。這樣一個多邊形，無論它有多少邊，其面積是與圓的直徑的平方成比例的。這個多邊形的邊越多，則它也就越接近於與圓相等。你可以證明，只要你能使這一多邊形有足夠多的邊，就可以使它的面積與圓面積之差小於任何預先指定的面積，無論這一預先指定的面積是多麼地小。為了這個目的，就引用了「阿幾米德公理」。這一公理（多少加以簡化之後）是說：假設有兩個數量，把較大的一個平分為兩半，把一半再平分為兩半，如此繼續下去，則最後就會得到一個數量要小於原來的兩個數量中較小的那一個。換句話說，如果a大於b，則必有某一個整數n可以使2n乘b大於a。

有許多觀察對於這一點都是有貢獻的。稍晚于阿那克薩哥拉的歐諾比德發現了黃道的斜度。不久就明白了太陽到底是比地球大得多，這一事實便支持了那些否認地球是宇宙的中心的人們。中心的火與反地球，在柏拉圖的時代之後不久就被畢達哥拉斯派拋棄了。滂土斯的赫拉克利德（他的年代大約是公元前388-315年，與亞里士多德同時）發現了金星與水星都環繞太陽而旋轉，並且採取了地球每24小時繞著它自己的軸線轉動一周的見解。這種見解是前人所不曾採取過的一個非常重要的步驟。赫拉克利德屬於柏拉圖學派，並且一定是一個偉大的人物，但並沒有象我們所能期待的那樣為人尊敬；他被描述成是一個肥胖的花|花|公|子。

希臘的天文學乃是幾何學的而非動力學的。古代人把天體的運動想成是等速的圓運動，或者是圓運動的複合。他們沒有力.的概念。天球是整個在運動著的，而各種不同的天體都固定在天球上面。到了牛頓和引力理論的時候，才引進了一種幾何性更少的新觀點。奇怪的是，我們在愛因斯坦的普遍相對論里又看到了一種返回于幾何學的觀點，牛頓意義上的力的概念已經又被摒棄了。

發見了無理數的最重要的後果之一就是攸多克索（約當公元前408-355年）之發明關於比例的幾何理論。在他以前，只有關於比例的算數理論九九藏書。按照這種理論，如果a乘d等於b乘c，則a比b就等於c比d。這種界說，在還沒有有關無理數的幾何理論時，就只能應用於有理數。然而攸多克索提出了一個不受這種限制的新界說，其構造的方式暗示了近代的分析方法。這一理論在歐幾里德的書里得到了發展，並具有極大的邏輯美。

有許多非常有趣的故事——或許並沒有歷史真實性——可以表明，是哪些實際問題刺|激了數學的研究。最早的最簡單的故事是關於泰勒斯的，傳說他在埃及的時候國王曾要他求出一個金字塔的高度。他等到太陽照出來他自己影子的長度與他的身高相等的時候，就去測量金字塔的影子；這個影子當然就等於金字塔的高度。據說透視定律最初是幾何學家阿加塔庫斯為了給伊斯奇魯斯的戲劇畫布景而加以研究的。傳說是被泰勒斯所研究過的求一隻船在海上的距離的問題，在很早的階段就已經很正確地解決了。希臘幾何學所關心的大問題之一，即把一個立方體增加一倍的問題，據說是起源於某處神殿里的祭司們；神諭告訴他們說，神要的一座雕象比他們原有的那座大一倍。最初他們只是想到把原象的尺寸增加一倍，但是後來他們才認識到結果就要比原象大八倍，這比神所要求的要更費錢得多。於是他們就派遣一個使者去見柏拉圖，請教他的學園裡有沒有人能解決這個問題。幾何學家們接受了這個問題，鑽研了許多世紀，並且附帶地產生出了許多可驚可嘆的成果。這個問題當然也就是求2的立方根的問題。

除了2的平方根之外，其他的無理數在特殊的例子里也曾被與蘇格拉底同時代的狄奧多羅斯研究過，並且曾以更為普遍的方式被與柏拉圖大致同時而稍早的泰阿泰德研究過。德謨克里特寫過一片關於無理數的論文，但是文章的內容我們已不大知道了。柏拉圖對這個題目是深感興趣的；他在以「；泰阿泰德」命名的那篇對話里提過了狄奧多羅斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他說過一般人對這個題目的愚昧無知是很不光彩的，並且還暗示著他自己之開始知道它也是很晚的事情。它當然對於畢達哥拉斯派的哲學有著重要的關係。

哥白尼偶然知道了一些幾乎已被遺忘了的亞里士達克的假說，雖然知道得並不多；他為自己的創見能找到一個古代的權威而感到鼓舞。不然的話，這種假說對於後代天文學的影響實際上是會等於零.的。

畢達哥拉斯有極大的可能是第一個認為地是球形的人，但是他的理由（我們必須設想）卻是審美的而非科學的。然而，科學的理由不久就被發現了。阿那克薩哥拉發現了月亮是由於反光而發光的，並且對月蝕做出了正確的理論。他本人仍然認為地是平的，但是月蝕時地影的形狀卻使得畢達哥拉斯派有了擁護地是球形的最後定論性的論據。他們更進一步把地球看成是行星之一。他們知道了——據說是從畢達哥拉斯本人那裡知道的——晨星和昏星就是同一個星，並且他們認為所有的星包括地球在內都沿著圓形而運動，但不是環繞著太陽而是環繞著「中心的火」。他們已經發現了月亮總是以同一面對著地球的，並且他們以為地球也總是以同一面對著「中心的火」。地中海區域位於與中心的火相背的那一面，所以就永遠看不見中心的火。中心的九九藏書火就叫做「宙斯之家」或者「眾神之母」。太陽是由於反射中心的火而發光的。除了地球之外還有另一個物體，叫做反地球，與中心的火距離相等。關於這一點，他們有兩個理由；一個是科學的，另一個即得自於他們算學上的神秘主義。科學的理由即他們正確地觀察到了，月蝕有時是當日月都在地平線之上的時候出現的。這種現象的原因是折射，他們還不知道折射，於是就認為在這種情形下月蝕必定是由於地球之外的另一個物體有影子的緣故。另一個原因就是日、月、五星、地球與反地球以及中心的火就構成了十.個天體，而十則是畢達哥拉斯派的神秘數字。畢達哥拉斯派的這種學說被歸功於費勞羅，他是底比斯人，生活于公元前五世紀的末期。雖然這種學說是幻想的，並且還有些部分是非常不科學的，但它卻非常之重要，因為它包含了設想哥白尼假說時所必需的大部分的想象能力。把地球不設想為宇宙的中心而設想為行星中的一個，不設想為永恆固定的而設想為在空間里遨遊的，這就表現出一種了不起的擺脫了人類中心說的思想解放。一旦人在宇宙中的自然圖象受到了這種搖撼的時候，就不難以科學的論證把它引到更正確的理論上來了。

讓我們先看希臘人最早的一些發現與正確的假說。阿那克西曼德認為大地是浮蕩著的，並沒有任何東西在支持它。亞里士多德總是反對當時各種最好的假說的，所以他就反駁阿那克西曼德的理論，亦即大地位於中心永遠不動，因為它並沒有理由朝著一個方向運動而不朝另一個方向運動。亞里士多德說，如果這種說法有效，那麼一個人若是站在圓心，縱令在圓周的各點上都擺滿了食品的話，他也會餓死的，因為並沒有理由要選擇哪一部分食品而不選擇另一部分食品。這個論證重行出現於經院哲學里，但不是與天文學聯繫在一片，而是與自由意志聯繫在一片的。它以「布理當的驢」的形式而重行出現，布理當的驢因為不能在左右兩邊距離相等的兩堆草之間做出選擇，所以就餓死了。

波西東尼是6，546倍；

歐幾里德幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。據說有一個學生聽了一段證明之後便問，學幾何學能夠有什麼好處，於是歐幾里德就叫進來一個奴隸說：「去拿三分錢給這個青年，因為他一定要從他所學的東西里得到好處。」然而鄙視實用卻實用主義地被證明了是有道理的。在希臘時代沒有一個人會想象到圓錐曲線是有任何用處的；最後到了十七世紀伽利略才發現拋射體是沿著拋物線而運動的，而開普勒則發現行星是以橢圓而運動的。於是，希臘人由於純粹愛好理論所做的工作，就一下子變成了解決戰術學與天文學的一把鑰匙了。

第一個而且最好的證據就是阿幾米德的證據，我們已經說過阿幾米德是亞里士達克同時代的一個較年青的人。在他寫給敘拉古的國王葛倫的信里說，亞里士達克寫成了「一部書，其中包括著某些假說」；並繼續說：「他的假說是說恆星和太陽不動，地球則沿著圓周而環繞太陽旋轉，太陽位於軌道的中間」。在普魯塔克的書里有一段話提到，克雷安德「認為以不虔敬的罪名來懲罰亞里士達克乃是希臘人的責任，因為他使得宇宙的爐灶（即地球）運動起來，這是他九-九-藏-書設想天靜止不動而地則沿著斜圓而運轉，同時並環繞其自身的軸而自轉，以圖簡化現象的結果」。克雷安德是亞里士達克同時代的人，約死於公元前232年。在另一段話里普魯塔克又說，亞里士達克提出這種見解來僅只是作為一種假說，但是亞里士達克的後繼者塞琉古則把它當作是一種確定的意見。（塞琉古的鼎盛期約當公元前150年。）艾修斯和塞克斯托.恩皮里庫斯也說到亞里士達克提出了太陽中心說，但是他們並沒有說他提出這種學說來僅僅是作為一種假說。縱使他確乎是這種提法，那也很可能他是象兩千年以後的伽利略一樣，是由於害怕觸犯宗教偏見的影響所致，——我們上面所提到的克雷安德的態度，就說明了這種懼怕是很有理由的。

而正確的數字則是11，726倍。我們可以看出這些推算是在不斷改進著的（然而，只有托勒密的推算卻表現了一種退步）；波西東尼的推算約為正確數字的一半。大體上他們對於太陽系的圖象，與事實相去得並不太遠。

天文學家的問題是：已知天體在天球上的視動，怎樣能用假說來介紹第三個坐標，即深度，以便把現象描敘得儘可能地簡捷。哥白尼假說的優點並不在於真實性而在於簡捷性；從運動的相對性看來，並不發生什麼真.實.性.的問題。希臘人在追求著能夠「簡化現象」的假說，事實上這已經是以科學上的正確方式觸及到問題了，儘管並不是完全有意的。只要比較一下他們的前人以及他們的後人（直到哥白尼為止），就足以使每個人都對他們那真正令人驚異的天才深信不疑。另外兩個非常偉大的人物，即公元前三世紀的阿幾米德和亞婆羅尼，就結束了這張第一流希臘數學家的名單。阿幾米德是敘拉古國王的朋友，也許是他的表兄弟，于公元前212年羅馬人攻佔該城時被害。亞婆羅尼從青年時代就生活在亞歷山大港。阿幾米德不僅是一位數學家，而且還是一位物理學家與流體靜力學家。亞婆羅尼主要地是以他對於圓錐曲線的研究而聞名的。關於這兩個人我不再多談，因為他們出現的時代太晚，對哲學並沒有能起什麼影響。

普洛克魯斯描述過畢達哥拉斯——此人永遠是個頗為朦朧的人物——乃是第一個把幾何學當作一種學藝的人。許多權威學者，包括湯姆斯.希斯爵士在內，都相信華達哥拉斯或許曾發見過那個以他的名字命名的定理；那個定理是說在一個直角三角形中，弦的平方等於兩夾邊的平方之和。無論如何，這個定理是在很早的時期就被畢達哥拉斯派所知道了的。他們也知道三角形的內角之和等於兩個直角。

在這兩個人以後，雖然在亞歷山大港繼續做出了可敬的工作，但是偉大的時代是結束了。在羅馬人的統治之下，希臘人喪失了隨著政治自由而得來的那種自信，並且在喪失這種自信的時候，也就對他們的前人產生了一種麻木不仁的尊敬。羅馬軍隊之殺死阿幾米德，便是羅馬扼殺了整個希臘化世界的創造性思想的象徵。

希巴古是1，245倍，

薩摩的亞里士達克大約生活于公元前310-230年，因此約比阿幾米德大二十五歲；他是所有的古代天文學家中最使人感興趣的人，因為他提出了完備的哥白尼式的假說，即一切行星包括地球在內都以圓形在環繞著太陽旋轉，並且地球每ｒeａd.9９csw•ｃｏｍ24小時繞著自己的軸自轉一周。但是現存的亞里士達克的唯一作品《論日與月的大小與距離》卻還是墨守著地球中心的觀點，這件事是有點令人失望的。的確，就這本書所討論的問題而言，則無論他採取的是哪種理論都並沒有任何的不同；所以他可能是認為，對於天文學家的普遍意見加以一種不必要的反對，從而加重他計算的負擔，乃是一樁不智之舉；或者他也可能是僅僅在寫過這部書之後，才達到了哥白尼式的假說的。湯姆斯.希斯爵士在他那本關於亞里士達克的書里（書中包括原著的全文與譯文）就是傾向於后一種見解的。但無論情形是哪一種，亞里士達克之曾經提示過哥白尼式的觀點，這件事的證據卻是十足可以定論無疑的。

窮盡法有時候可以得出精確的結果，例如阿幾米德所做的求拋物線形的面積；有時候則只能得出不斷的近似，例如當我們試圖求圓的面積的時候。求圓的面積的問題也就是決定圓周與直徑的比率問題，這個比率叫作pi；。阿幾米德在計算中使用了22/7的近似值，他做了內接的與外切的正96邊形，從而證明了pi；小於3又1/7並大於3又10/71。這種方法可以繼續進行到任何所需要的近似程度，並且這就是任何方法在這個問題上所能盡的一切能事了。使用內接的與外切多邊形以求pi；的近似值，應該上溯到蘇格拉底同時代的人安提豐。

我現在就要談天文學，希臘人在這方面的成就正象在幾何學方面是一樣地引人注目。在希臘之前，巴比倫人和埃及人許多世紀以來的觀察已經奠定了一個基礎。他們記錄下來了行星的視動，但是他們並不知道晨星和昏星就是一個。巴比倫無疑地，而且埃及也可能，已經發現了蝕的周期，這就使人能相當可靠地預言月蝕，但是並不能預言日蝕；因為日蝕在同一個地點並不是總可以看得見的。把一個直角分為九十度，把一度分為六十分，我們也是得之於巴比倫人的；巴比倫人喜歡六十這個數目，甚至於還有一種以六十進位的計數體系。希臘人總是喜歡把他們的先穉e人物的智慧都歸功於是遊歷了埃及的結果，但是在希臘人以前，人們所成就的東西實在是很少的。然而泰勒斯的預言月蝕，卻是受了外來影響的一個例子；我們沒有理由設想他在從埃及和巴比倫那裡所學到的東西之外又增加了什麼新東西，並且他的預言得以證實，也完全是幸運的偶合。

哥白尼式的假說被亞里士達克（無論是正式地也好還是試驗性地也好）提出來之後，是被塞琉古明確地加以接受了的，但是並沒有被其他任何的古代天文學家所接受。這種普遍的反對主要地是由於希巴古的緣故，希巴古鼎盛于公元前161-126年。希斯把希巴古描寫為是「古代最偉大的天文學家」。希巴古是第一個系統地論述了三角學的人；他發現了歲差；他計算過太陰月的長度，而誤差不超過一秒；他改進了亞里士達克關於日月的大小和距離的計算；他著錄了850個恆星，並注出了它們的經緯度。為了反對亞里士達克的太陽中心假說，他採用了並改進了亞婆羅尼（鼎盛期約當公元前220年）所創造的周轉圓的理論；這種學說發展到後來便以托勒密的體系而知名，它是根據鼎盛于公元二世紀的天文學家托勒密的名字而來的。

亞里士達克是180倍，