因此，要測量一個我們無法接觸到的物體的大小，首先，我們要運用幾何學的方法來確定該物體與我們之間的距離，然後，測量角直徑，也就是說，從觀察者的角度來看物體，所看到一側的邊與另一側的邊所形成的兩條視線的夾角大小。藉助于這個角的大小和已知該物體與我們之間的距離長短，我們就完全可以著手解決這個問題了。最後，我們不得不承認：幾何學真是一種有效的工具啊！一個物體，不管它在哪裡，是高樓大廈也好，是懸崖峭壁也好；也不管它有多遠，一千米、一萬米，甚至更遠的距離，現在我們不必走過去，幾何學就能告訴我們這個物體的大小以及它與我們之間的距離，就像用米尺實際測量過一樣。藉助于幾何學來做這些研究，我們如果再說這些是不可能的，那我們就錯了。

↓1.當月亮掠過一朵朵雲彩，彷彿在天空中飛速奔跑時，誰不曾追著它看？當雲彩向著月亮靠近，它就會被白色的月光浸沒，就像一團銀色的羊毛，當雲彩靠得更近時，它就會變得越來越厚、越來越暗，到了最後，月亮就會被那些移動的帷幕遮住。有時，我們會在那不均勻的霧幔後面看到一圈模糊的光暈露出來，但天空中有時會出現一片晴朗的地方，於是月亮又會清清楚楚地完整出現，從天空中好奇地看著我們，於是就會有無數個問題出現在我們腦海里了。我們困惑地看到月亮上有人形肖像，那它究竟是一顆什麼樣的星星？夜裡在這樣一個寒冷的地方，它在那裡做什麼呢？人們認為，它在和它的鄰居地球玩捉迷藏的遊戲。為了滿足你們的好奇心，讓我們一起到月球上徒步旅行吧！讓科學當我們的引路人。你們準備好了嗎？開始出發了。等一下，我弄錯了。作為謹慎的旅行者，首先應該要說明我們需要走的路程。在你沒有知道路程的長短之前，我們是不會進行一次如此遙遠的探險的，因此，我們要測量一下地球到月亮的距離。要測量一下地球到月亮的距離？這是不可能的，誰能夠拿著米尺一步一步地去測量連接地球與月亮之間的直線呢？誰敢自詡能夠跨過空間中的這段距離，一腳踏在地球上，另一腳踏在月亮上，在這兩個星球之間拉起一根測量的繩子？幾何學家能夠創造出這樣的奇迹來。幾何學家能夠藉助于角與直線的簡單組合，告訴我們不可到達的物體的大小和到我們的距離。你們可能想知道，他們是怎樣用最基本的東西、以最巧妙的辦法來測量那不可測量的距離呢？這種高妙的方法是人類智慧中最傑出的觀念之一。為了研究一下這種方法，我們先將將旅行推遲一段時間。當你們親眼看到實際去測量地球到月亮之間的距離是可能的、而不是簡單接受那些你們所引用的數據的時候，你們會有一種滿足感。通過記憶去學習是一件很好的事情，但是理解卻看得更加清楚明白，因此它是更好的事情。

根據這些測量，我們獲得三角形CAB中兩個角即角A與角B的大小以及三條邊中的一條邊即邊AB的長度，https://read.99csw.com角C的大小與另外兩條邊AC與BC的長度，我們是不知道的，但這並不是因為它們被墨汁覆蓋住我們才不知道，而且是因為河的阻攔，它比墨汁覆蓋更加令人沮喪，因為它使得我們不能從河的這邊走到河的那邊去測量離塔的距離。如果我們不管墨汁的覆蓋，能夠作出一個相似的圖形來，那麼，河這個障礙物就不能妨礙我們在紙上如實地描摹出和三角形ABC相似的圖形，儘管我們對三角形ABC只知道其中一半。我們在紙上畫一條線段ab，使它的長度為70毫米，如圖50所示，線段ab代表的是圖49中那條在地上測量出來的70米長的底邊AB，然後在點a處作一個52度的角，在點b處作一個40度的角，使得這兩條直線相交於點c。由此我們就完成了這個圖，這個圖是自然而然完成的，因此它與地上的原型是嚴格相似的，既然如此，那麼它們對應的邊之間的大小比例是相同的，只不過ab的長度是70毫米，而AB的長度是70米。因此，AC的長度是多少米，那麼知道ac的長度是多少毫米就足夠了。我們用一把非常精確的直尺來測量ac的長度，我們發現，比如說，它是50毫米，那麼，我們所求得的AC的長度是50米。你們看到，儘管河流阻擋住了我們的去路，但是，我們還是精確地測量出了塔距離我們到底有多遠。藉助于相似的圖形，我們只需要知道一個底邊的長度和兩個角的大小，就能完美地完成這項工作。

↓6.倘若我們僅僅依靠簡單的表象來判斷地球與月亮之間的距離，那我們就犯了一個巨大的錯誤。單靠眼睛來觀察，我們並不能夠知道任何事情。我們看到月亮躲在雲彩的後面，雲彩本身離我們有兩千米、三千米、四千米……有時候會高一些，有時候會低一些，那麼月亮離我們到底有多遠呢？如果不藉助于幾何學，我們根本不可能知道答案，因此我們就需要運用嚴格的科學來研究這個問題。

↓5.一旦我們知道了塔離我們的距離，我們就很容易計算出塔的大小、塔的直徑。觀察者在點A處通過經緯儀上的兩個望遠鏡來觀察塔的左側與右側，由此，塔的寬度就是經緯儀上兩個望遠鏡所代表的兩條邊所夾的角度。假設由此形成的角BAC的大小是10度，我們將這個角稱為塔的角直徑，因為這個角的兩條邊之間就是實際的直徑，也就是塔的寬度。現在我們在紙上畫一個10度的角a，如圖52所示，在它的兩條邊上，從頂點開始作兩條線段ab與ac，使得它們的長度read.99csw.com都是50毫米，對應著塔與我們的距離50米。完成了這一步后，我們的圖形算是完成了。我們用一把非常精確的尺子來測量bc，假設它是9毫米，那麼，塔的寬度就是9米。

↓9.月亮在雲層后所呈現出來的現象嚴重地欺騙了我們。實際上，月亮與我們之間的距離要比我們看到的距離要遠得多。要到月亮上去，需要30個地球連成一串，或是需要一根長繩，它的長度大約是沿著地球赤道繞上9圈到10圈的樣子；一枚炮彈，當它離開炮口時的速度大約是每秒400米，如果保持這個速度，它要花上11天的時候才能從地球到達月亮；一輛時速為60千米的火車，要連續開上9個月才能從地球抵達月亮。既然月亮距離地球是如此的遙遠，那麼月亮實際上要比它看上去大上很多。為了知道月亮的實際大小，我們要重複一次測量塔時所進行的工作：首先要測量它的角直徑，然後將該角與距離結合起來計算月亮的大小，通過觀察月亮圓盤的上半圓與下半圓，我們測到月亮的角直徑大約是半度。然後我們在紙上畫一個大小為半度的角，並在它的兩條邊上截取60個單位的長度，以此代表60個地球半徑，由此我們找到了三角形中對應著月亮實際直徑的那條邊，它的大小接近於地球直徑的四分之一，或者更準確地說是十一分之三。這樣看來，月亮並不是一個小盤子，而是一個非常大的球，儘管它比地球要小得多。月球的半徑大約是地球半徑的十一分之三，因此它的周長是10800千米，它的體積大約是地球體積的五十分之一。現在我們可以開始我們原先計劃好的探險活動了，如果路途太遙遠了，那麼就讓我們乘著思想的翅膀快速飛過去吧！

↓7.於是，測量工作就簡化為對兩個角的測量。對此我們說明如下：在圖53中，弧VEC是地球子午線上的一段圓弧，它把維也納（即點V）與好望角（即點C）連接起來。在E點，赤道與這根子午線相交。在觀察者開始觀察的那一刻，月亮位於L點。維也納的天文觀察者用經緯儀測量角HVL，該角是由地球垂線HV與望向月亮的視線VL構成的；而好望角的天文觀察者則用經緯儀測量DCL，該角是由地球垂線DC與望向月亮的視線CL構成的。這就是要做的所有工作。現在只要確定一下他們所在位置的緯度，也就是我在前文中講過的觀察者所在的點到赤道的度數，這樣就可以了。通過觀察相對應的天極https://read.99csw.com，我們就可以得出他們所在的緯度。很明顯，對緯度的測量不需要同時進行。每個觀察者只要自己掌握時間，來確定他自己所在地的緯度即可，而無需關注他同事的測量時間。我假設維也納的緯度是48度，這也就是說，處於赤道與維也納之間的那條子午線上的弧EV是48度。好望角的緯度或說弧EC的大小是34度。這兩個緯度之和，即弧EV與弧EC之和，就是兩條垂線之間的角COV的度數，角COV就是我們所選取的兩個觀察點所在的地球垂線所構成的角，也即VO與CO這兩條地球半徑所構成的角。由此，在地球的這兩個地點所進行的觀察告訴我們，角COV的大小是48度加上34度，即82度。為了確定月亮與地球之間的距離，只需通過相似圖形的辦法即可，無需再做其他的事情。

要使得圖畫相似，僅僅使不同的線段之間比例保持相同還是不夠的，還需要其他的條件。假設你要畫一個類似於圖43中ABCDH的幾何圖形，但是大小要縮小一半。你們先作線段ab，使它的長度是線段AB長度的一半；然後作線段bc，使它的長度是線段BC長度的一半；再作線段cd，使它長度是線段CD長度的一半；最後作線段dh，使它長度的線段DH長度的一半。如圖44所示。我們看到，相對應的不同線段之間的比例是相同的。但是，我們模仿出來的圖畫仍然跟原畫並不相似。那麼，為什麼我們的模仿像是缺少了點什麼東西呢？那是因為，我們並沒有考慮角與角之間的相等。在作畫的過程中，我並沒有注意到這一點。我們再重新畫一幅，並且仔細地畫。在模仿圖形中，使得對應的角都與原圖中的角相等。我們作一個線段a′b′，使得它的長度是AB的一半，如圖45所示，然後在點b′作一個角，使它的大小正好等於原圖中相對應的角的大小，這樣一直畫下去，就能得到一個與原先圖形相似的圖形a′b′c′d′h′。因此我們可以說：在相似的幾何圖形中，相對應的線段之間的比例是相同的，相對應的角是相等的。

有兩個觀察者分別位於地球上的兩個點，他們之間相距很遠，這是為了我們的測量有一個足夠大的底邊。他們要精心選擇他們的位置，使得他們之間的連線是正南北向的，也就是說，他們要處於同一條子午線上，比如說，一個觀察者位於奧地利的維也納，而另一個則處於非洲子午線南頂點的好望角。他們之間的距離接近於地球周長的四分之一，以這段距離作為一條巨大的底邊，在它的基礎上搭建出一個幾何的腳手架來。最重要的是，這兩個觀察者需要于同時同分同秒在好望角與維也納分別進行觀察，這樣，他們所看到的月亮應該是處於天空中的同一位置。他們之間的距離相隔如此之遠，那麼，怎麼才能夠做到在同一時刻觀察呢？月亮自己解決了這個問題，因為滿月的月盤會向兩個觀察者同時發出一個看得見的信號。實際上，在一定的時機，滿月會變得越來越模糊，最後變得看不見，隱沒在地球的陰影之中，在這個時刻，地球擋住了月亮，使太陽照不到它了。這兩個天文觀察者等著某個信號，以便同時進行他們的觀察，這個信號確切地說就是月食。當地球的陰影開始吞沒月亮的邊線時，這兩位天文觀察者會用望遠鏡同時觀察到月亮的那條邊被吞沒。於是，在地球的這兩個地方，測量工作同時開始了read.99csw.com，就像這兩位天文觀察者約定好了一樣。

↓3.要根據一個眼前的模型畫出一個腦袋、一幅風景或其他的什麼東西，那麼，我們必須要看到這個模型的所有部分，倘若這個模型的某個部位被一攤墨漬蓋住了，那麼，你還能如實完整地模仿出這個模型嗎？——當然不能，為了描摹一幅畫，首先應該觀察這幅畫，它所缺少的部位、不為我們所知的部位，都是不能被模仿的，這是顯而易見的事情。但由於幾何圖形非常簡單，所以幾何圖形是一個非常明顯的例外。儘管原圖的有些部位看不清楚、不為我們所知，但它還是可以被精確地模仿出來。我們用下面的一個例子來證明這一點。如圖46中，我們要模仿一個多邊形ABCD，要把它的大小縮三倍。假如原圖就像圖46中的圖一樣是完整的，那麼我們所要做的縮小工作並沒有什麼需要特別注意的地方。但是請你們想象一下，假如它被一攤墨漬弄髒了，就像圖47中那樣，角A就被遮住了，而邊AB與邊AD有多長，我們也看不到了。這樣，根據這樣一幅不完整的圖形，我們還能作出一幅跟原圖相似的模仿圖來嗎？這幅原圖我們從來沒見過呀？我們來試著作一下：我先作一個角c，使它與原圖中相對應的角C相等，如圖48所示；再沿著該角的兩邊，作線段cd和cb，使得它們的長度分別是線段CD和CB的三分之一，然後在b點處，再模一個與相對應的角B相等的角，由此得到一條無限長的直線bx；同樣的，我在d點作一個與角D相等的角，由此得到一條無限長的直線dy，這兩條直線bx與dy在點a處相交，於是一個完整的滿足要求的圖就被摹仿出來了。由此可見，在作圖的過程中，我們不需要添加什麼東西，也不需要考慮我們不知道其大小的角a以及邊BA與DA的長度。這樣，我們就完成了這個模仿圖，這個圖形是獨立完成的，沒有任何的隨意性，也沒有任何取決於我們選擇的因素，這個圖形是按照原圖嚴格地作出來的，不存在任何其他可能的構造方式。因此，要作一個與某個幾何圖形相類似的圖形，沒有必要了解這個模型圖形的所有細節，只要你知道關於這個模型圖形的知識能夠使繪圖到達某個點的時候，它就能自然而然地完成就行。

↓2.給read.99csw.com你們一個需要臨摹的原圖或是一個人的腦袋作為模型，你們可以描摹得和模型一樣大，或者比它們大一些，也可以比它小一些，但不管怎樣，最重要的是描畫得跟原物相像，這一點是再清楚不過的了。這是已經畫出來的鼻子，你們畫出來的鼻子只有模型鼻子的一半大，對此我沒什麼可說的，只要畫的比例協調就行。下面來畫嘴，既然鼻子小了一半，那麼很明顯，嘴也要小一半！眼睛、耳朵、下巴、捲曲的頭髮，所有這些是不是都應該比原物小上一半！倘若在巨大的眼睛下邊有一個小小的鼻子，或是在一張大嘴的下邊有一個小小的下巴，你們——稍微看一下就會知道什麼後果。你們畫的不再是相像的臨摹畫，而是一幅難看的漫畫。堅持這樣畫是沒有用的：你們明白，既然一開始你們已經將這幅畫中的鼻子縮小了兩倍，那麼，為了描摹得相似，眼睛、嘴巴、下巴等也要縮小；相反，如果你們一開始的時候就把鼻子擴大了兩倍，那麼畫中的其他部位也要比模型中的相應部位擴大兩倍。這一原則對於畫圖來說是沒有爭議的，這一點也同樣適用於幾何圖形。其實我們應該說這一原則適用於一切情況：在相似的圖畫中，相對應的各部分之間的比例是相同的。

↓4.現在我們就將這個富有成效的原理應用到下一個問題之中。如圖49所示，我們位於A點，有一條河將我們與塔C分開，而我們不能跨過這條河。我們想要測量我們與塔之間距離AC的長度以及塔的寬度。為了達到這個目標，在我們這一側的河邊，我們在任意一點比如說B點豎起一根杆子，我們直接用米尺或捲尺來測量一下線段AB的長度，並把線段AB稱為底邊，我假設它的長度是70米。然後我們在點A處放置一個經緯儀，測得角CAB的大小是52度。最後，我們將該經緯儀移到點B，來測量角CBA的大小，假定它是40度。

↓8.我們在紙上畫一段弧線，用它來代表地球上的一段圓弧，同時在這條弧線上畫出它的任意一條半徑，用來代表地球的半徑。如圖54所示。下面我們以點o為頂點作一個82度的角cov。首先，在點v處作一條線段vl，使得它跟穿過點v的垂直線hv構成一個角hvl，並使得這個角等於在維也納處的天文觀察者所測到的角的大小，其次，在點c作一個角dcl，使得它的大小等於在好望角處的天文觀察者所測到的角的大小，這樣，兩條直線vl與cl會相交於點l處，由此圖形ovlc就自然而然地完成了，它跟穿過地球與天空內部的直線所構成的圖形OVLC相似。如果我們用圓規去測量ol包含有多少個oc，那麼測量結果就是大約60個左右。因此，月亮到地球中心的距離大約是地球半徑的60倍。我們之所以說大約，這是因為地球到月亮的距離是隨著月亮位置的變化而變化，月亮到地球的最遠距離是地球半徑的64倍，而最短的距離則是56倍，平均距離是60倍。