數學與神學的結合開始於畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代的宗教哲學的特徵。畢達哥拉斯以前的奧爾弗斯教義類似於亞洲的神秘教。但是在柏拉圖、聖奧古斯丁、托馬斯·阿奎那、笛卡爾、斯賓諾莎和康德的身上都有著一種宗教與推理的密切交織，一種道德的追求與對於不具時間性的事物之邏輯的崇拜的密切交織；這是從畢達哥拉斯而來的，並使得歐洲的理智化了的神學與亞洲的更為直接了當的神秘主義區別開來。只是到了最近的時期，人們才可能明確地說出畢達哥拉斯錯在哪裡。我不知道還有什麼別人對於思想界有過象他那麼大的影響。我所以這樣說，是因為所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。有一個只能顯示于理智而不能顯示于感官的永恆世界，全部的這一觀念都是從畢達哥拉斯那裡得來的。如果不是他，基督徒便不會認為基督就是道；如果不是他，神學家就不會追求上帝存在與靈魂不朽的邏輯證.明.。但是在他的身上，這一切還都不顯著。下面就要談到這一切是怎樣變得顯著的。

康福德（《從宗教到哲學》）說，在他看來，「畢達哥拉斯代表著我們所認為與科學傾向相對立的那種神秘傳統的主潮。」他認為巴門尼德——他稱之為「邏輯的發現者」——「是畢達哥拉斯的一個支派，而柏拉圖本人則從義大利哲學獲得了他的靈感的主要來源」。他說畢達哥拉斯主義是奧爾弗斯教內部的一種改良運動，而奧爾弗斯教又是狄奧尼索斯崇拜中的改良運動。理性的東西與神秘的東西之互相對立貫穿著全部的歷史，它在希臘人中間最初表現為奧林匹克的神與其他較為不開化的神之間的對立，後者更接近於人類學者們所研究的原始信仰。在這個分野上，畢達哥拉斯是站在神秘主義方面的，雖然他的神秘主義具有一種特殊的理智性質。他認為他自己具有一種半神明的性質，而且似乎還曾說過，「既有人，又有神，也還有象畢達哥拉斯這樣的生物。」康福德說，受他所鼓舞的各種體系「都是傾向於出世的，把一切價值都置於上帝的不可見的統一性之中，並且把可見的世界斥為虛幻的，說它是一種混濁的介質，其中上天的光線在霧色和黑暗之中遭到了破壞，受到了蒙蔽」。

關於畢達哥拉斯之作為一個宗教的先知與作為一個純粹的數學家這兩方面，我們已經解釋得很多了。在這兩方面，他都有著無可估計的影響，而且這兩方面在當時也不象近代人所想象的那樣是分離開來的。

畢達哥拉斯教派有一些規矩是：

近代關於真理的定義，例如實用主義的和工具主義的關於真理的定義，就是實用的而不是沉思的，它是由於與貴族政權相反對的工業文明所激起的。

12．房裡不許有燕子。

「我們在這個世界上都是異鄉人，身體就是靈魂的墳墓，rｅad.９９cｓｗ.cｏｍ然而我們決不可以自殺以求逃避；因為我們是上帝的所有物，上帝是我們的牧人，沒有他的命令我們就沒權利逃避。在現世生活里有三種人，正象到奧林匹克運動會上來的也有三種人一樣。那些來作買賣的人都屬於最低的一等，比他們高一等的是那些來競賽的人。然而，最高的一種乃是那些只是來觀看的人們。因此，一切中最偉大的凈化便是無所為而為的科學，唯有獻身於這種事業的人，亦即真正的哲學家，才真能使自己擺脫生之巨輪。」文字涵義的變化往往是非常有啟發意義的。我在上文已經提到「狂歡」（orgy）那個字；現在我就要談談「理論」（theory）這個字。這個字原來是奧爾弗斯教派的一個字，康福德解釋為「熱情的動人的沉思」。他說，在這種狀態之中「觀察者與受苦難的上帝合而為一，在他的死亡中死去，又在他的新生中復活」；對於畢達哥拉斯，這種「熱情的動人的沉思」乃是理智上的，而結果是得出數學的知識。這樣，通過了畢達哥拉斯主義，「理論」就逐漸地獲得了它的近代意義；然而對一切為畢達哥拉斯所鼓舞的人們來說，它一直保存著一種狂醉式的啟示的成份。這一點，對於那些在學校里無可奈何地學過一些數學的人們來說，好象是很奇怪的；然而對於那些時時經驗著由於數學上的豁然貫通而感到沉醉歡欣的人們來說，對於那些喜愛數學的人們來說，畢達哥拉斯的觀點則似乎是十分自然的，縱令它是不真實的。彷彿經驗的哲學家只是材料的奴隸，而純粹的數學家，正象音樂家一樣，才是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。

我相信，數學是我們信仰永恆的與嚴格的真理的主要根源，也是信仰有一個超感的可知的世界的主要根源。幾何學討論嚴格的圓，但是沒有一個可感覺的對象是嚴格地圓形的；無論我們多麼小心謹慎地使用我們的圓規，總會有某些不完備和不規則的。這就提示了一種觀點，即一切嚴格的推理只能應用於與可感覺的對象相對立的理想對象；很自然地可以再進一步論證說，思想要比感官更高貴而思想的對象要比感官知覺的對象更真實。神秘主義關於時間與永恆的關係的學說，也是被純粹數學所鞏固起來的；因為數學的對象，例如數，如其是真實的話，必然是永恆的而不在時間之內。這種永恆的對象就可以被想象成為上帝的思想。因此，柏拉圖的學說是：上帝是一位幾何學家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算學。與啟示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之後，尤其是從柏拉圖之後，一直是完全被數學和數學方法所支配著的。

在他建立的團體里，不分男女都可以參加；財產是公有的，而且有一種共同的生活方式，甚至於科學和數學的發現也認為是集體的，而且，在一種神秘的意義上，都得歸功於九*九*藏*書畢達哥拉斯；甚至於在他死後也還是如此。梅達彭提翁的希巴索斯曾違反了這條規矩，便因船隻失事而死，這是神對於他的不虔誠而震怒的結果。

所有這些誡命都屬於原始的禁忌觀念。

7．不要吃整個的麵包。

幾何學對於哲學與科學方法的影響一直是深遠的。希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。公理和定理被認為對於實際空間是真確的，而實際空間又是經驗中所有的東西。這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。「獨立宣言」說：「我們認為這些真理是自明的」，其本身便脫胎于歐幾里德。十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾里德式的公理。牛頓的《原理》一書，儘管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾里德所支配著的。嚴格的經院形式的神學，其體裁也出於同一個來源。個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。

9．不要坐在鬥上。

義大利南部的各希臘城市也象薩摩島和米利都一樣，都是富庶繁榮的；此外，它們又遭受不到波斯人的威脅。最大的兩個城市是西巴瑞斯和克羅頓。西巴瑞斯的奢華至今還膾炙人口；據狄奧多羅斯說，它的人口當全盛時期曾達三十萬人之多，雖然無疑地這是一種誇大。克羅頓與西巴瑞斯的大小大致相等。兩個城市都靠輸入伊奧尼亞的貨物至義大利為生，一部分貨物是做為義大利的消費品，一部分則從西部海岸轉口至高盧和西班牙。義大利的許多希臘城市彼此激烈地進行征戰；當畢達哥拉斯到達克羅頓的時候，克羅頓剛剛被勞克瑞所戰敗。然而在畢達哥拉斯到達之後不久，克羅頓對西巴瑞斯的戰爭便取得了完全的勝利，西巴瑞斯徹底地被毀滅了（公元前510年）。西巴瑞斯與米利都在商業上一直有密切的聯繫。克羅頓以醫學著名；克羅頓有一個人德謨西底斯曾經做過波呂克拉底的御醫，後來又作過大流士的御醫。畢達哥拉斯和他的弟子在克羅頓建立了一個團體，這個團體有一個時期在該城中是很有影響的。但是最後，公民們反對他，於是他就搬到梅達彭提翁（也在義大利南部），並死於此處。不久他就成為一個神話式的人物，被賦與了種種奇迹和神力，但是他也是一個數學家學派的創立者。這樣，就有兩種相反的傳說爭論著他的事迹，而真相便很難弄清楚。

13．鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。

6．不要用鐵撥火。

正如大家所知道的，畢達哥拉斯說「萬物都是數」。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義九-九-藏-書的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義的。他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞里的「調和中項」與「調和級數」就仍然保存著畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯繫。他把數想象為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。

畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關於直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等於另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是顯然希臘人是最早觀察到32+42=52的，並且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。

無論人們對於容許奴隸制存在的社會制度懷著怎樣的想法，但正是從上面那種意義的君子那裡，我們才有了純粹的數學。沉思的理想既能引人創造出純粹的數學，所以就是一種有益的活動的根源；這一點就增加了它的威望，並使它在神學方面、倫理學方面和哲學方面獲得了一種在其他情況下所不能享有的成功。

最有趣的是，我們從伯奈特敘述的畢達哥拉斯的倫理學里，可以看出與近代價值相反的觀念。譬如在一場足球賽里，有近代頭腦的人總認為足球員要比觀眾偉大得多。至於國家，情形也類似：他們對於政治家（政治家是比賽中的競爭者）的崇拜有甚於對於那些僅僅是旁觀者的人們。這一價值的變化與社會制度的改變有關——戰士、君子、財閥、獨裁者，各有其自己的善與真的標準。君子在哲學理論方面曾經有過長期的當權時代，因為他是和希臘天才結合在一片的，因為沉思的德行獲得了神學的保證，也因為無所為而為的真理這一理想莊嚴化了學院的生活。君子可以定義為平等人的社會中的一分子，他們靠奴隸勞動而過活，或者至少也是依靠那些毫無疑問地位卑賤的勞動人民而過活。應該注意到在這個定義里也包括著聖人與賢人，因為就這些聖賢的生活而論，他們也是耽於沉思的而不是積極活動的。

5．不要邁過門閂。

11．不要在大路上行走。

畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。不僅關於他的傳說幾乎是一堆難分難解的真理與荒誕的混合，而且即使是在這些傳說的最單純最少爭論的形式里，它們也向我們提供了一種最奇特的心理學。簡單地說來，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人的結合。他建立了一種宗教，主要的教義是靈魂九-九-藏-書的輪迴和吃豆子的罪惡性。他的宗教體現為一種宗教團體，這一教團到處取得了對於國家的控制權並建立起一套聖人的統治。但是未經改過自新的人渴望著吃豆子，於是就遲早都反叛起來了。

然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形里，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長一時，那麼弦應該有多麼長呢？讓我們假設它的長度是m/n時。那麼m2/n2=2。如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m2＝2n2，所以m是偶數，所以m也是偶數；因此n就是奇數。假設m＝2p。那末4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。以上的證明，實質上就是歐幾里德第十編中的證明。

這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關係；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成於歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)2=a2+2ab+b2。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體系在邏輯上是醒目的，並且已經預示著十九世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了坐標幾何學（解析幾何）從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。

15．當你脫下睡衣的時候，要把它捲起，把身上的印跡摩平。

但是這一切與數學又有什麼關係呢？它們是通過一種讚美沉思生活的道德觀而被聯繫在一片的。伯奈特把這種道德觀總結如下：

大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯繫在一片的，這就使它們具有一種虛幻的價值。天文學和占星學聯繫在一片，化學和煉丹術聯繫在一片。數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。數學的知識看來是可靠的、準確的，而且可以應用於真實的世界。此外，它還是由於純粹的思維而獲得的，並不需要觀察。因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。人們根據數學便設想思想是高於感官的，直覺是高於觀察的。如果感官世界與數學不符，那麼感官世界就更糟糕了。人們便以各種不同的方式尋求更九_九_藏_書能接近於數學家的理想的方法，而結果所得的種種啟示就成了形而上學與知識論中許多錯誤的根源。這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。

10．不要吃心。

14．不要在光亮的旁邊照鏡子。

薩摩是米利都的商業競爭者；它的商人足跡遠達以礦產著名的西班牙塔爾特蘇斯地方。波呂克拉底大約于公元前535年成為薩摩的僭主，一直統治到公元前515年為止。他是不大顧慮道德的責難的；他趕掉了他的兩個兄弟，他們原是和他一起搞僭主政治的，他的海軍大多用於進行海上掠奪。不久之前米利都臣服於波斯的這件事情對他非常有利。為了阻止波斯人繼續向西擴張，他便和埃及國王阿馬西斯聯盟。但是當波斯王堪比西斯集中全力征服埃及時，波呂克拉底認識到他會要勝利，於是就改變了立場。他派遣一支由他的政敵所組成的艦隊去進攻埃及；但是水兵們叛變了，回到薩摩島向他進攻。雖然他戰勝了他們，但是最後還是中了一樁利用他的貪財心的陰謀而垮台了。在薩爾底斯的波斯總督假裝著要背叛波斯大王，並願拿出一大筆錢來酬答波呂克拉底對他的援助；波呂克拉底到大陸上去會晤波斯總督時，便被捕獲並被釘死在十字架上。

8．不要招花環。

2．東西落下了，不要揀起來。

狄凱阿克斯說，畢達哥拉斯教導說，「首先，靈魂是個不朽的東西，它可以轉變成別種生物；其次，凡是存在的事物，都要在某種循環里再生，沒有什麼東西是絕對新的；一切生來具有生命的東西都應該認為是親屬。」據說，畢達哥拉斯好象聖法蘭西斯一樣地曾向動物說法。

4．不要擘開麵包。

讓我們先從關於他生平已知的一些很少的事實談起。他是薩摩島的人，大約鼎盛于公元前523年。有人說他是一個殷實的公民叫做姆奈薩爾克的兒子，另有人說他是亞波羅神的兒子；我請讀者們在這兩說中自行選擇一種。在他的時代，薩摩被僭主波呂克拉底所統治著，這是一個發了大財的老流氓，有著一支龐大的海軍。

畢達哥拉斯對古代和近代的影響是我這一章的主題；無論就他的聰明而論或是就他的不聰明而論，畢達哥拉斯都是自有生民以來在思想方面最重要的人物之一。數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學，是從他開始的；而且數學在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由於他的緣故，數學對於哲學的影響一直都是既深刻而又不幸的。

波呂克拉底是一位藝術的保護主，並曾以許多了不起的建築美化了薩摩。安那克里昂就是他的宮廷詩人。然而畢達哥拉斯卻不喜歡他的政府，所以便離開了薩摩島。據說——而且不是不可能的——畢達哥拉斯到過埃及，他的大部分智慧都是在那裡學得的；無論情形如何，可以確定的是他最後定居於義大利南部的克羅頓。

3．不要去碰白公雞。

1．禁食豆子。