現在迪濟特博士已超過6票定額，所以他與格拉夫博士一樣，成為當選的候選人。

A 6 迪拿芝 奧羅克 傑斐遜

7 阿蒂拉 吉·喬 漢道特

C、B』3．8 馬尼福爾德博士 迪濟特博士

組別 選民數 選舉意願順序（從最好到最差）

A 7 格拉夫博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士 波因特博士

全部候選人再次都沒有得到定額選票，因此得票最少的弗里拉夫被淘汰了。弗里拉夫在D』組中的3位支持者把他們的選票轉移到他們的第三選擇阿蒂拉，而弗里拉夫6位在D組的支持者則轉移他們的選票給漢道特：

A 3．9 迪濟特博士 波因特博士 馬尼福爾德博士

對策論的部分智力感染力在於它的許多成果，如量子力學或相對論，似乎是直覺的，甚至是顛倒性的。典型的一個問題是1948年《美國數學月刊》提出的，它還不時地在文獻中出現。有3位名叫阿爾、本和查理的男子，參加一個新式的以氣球為目標的擲鏢遊戲。參加遊戲者每位各持一氣球，只要氣球不破，就可以繼續參賽，優勝者屬於惟一保持氣球完好的參賽者。投擲的每一輪參賽者都以抽籤決定遊戲的擲鏢順序，然後依次投擲一支習鏢，他們對各自的投擲技巧全部心中有數：阿爾可以在5次中4次擊破氣球（命中率80％）；而本則在5次中可3次擊破氣球（60％命中率）；查理卻是每5次只有2次可以擊破氣球（40％命中率）。那麼每位參賽者究竟採用什麼策略呢？

在選舉中，每位選民允許選出兩位候選人，阿蒂拉和吉·喬都將當選。因為這兩位候選人每位都各得13票。結果是10位自由派選民將沒有代表，即使他們構成全體選民的43％。而13位保守派選民僅構成全體選民的57％，卻有100％的代表。

合併成一大選區

A 6 格拉夫博士 迪濟特博士 波因特博士 馬尼福爾德博士

組別 選票數 選舉意願順序（從最好到最差）

組別 選票數 選舉意願（從最好到最差）

早在18世紀，法國數學家讓-安托萬-尼古拉斯·卡里塔特，德·孔多塞侯爵就看出了表決的悖論。他發現社會上往往有優先選擇，但是如果是個人的優先選擇，就被認為不合理而不加以考慮。現在回過頭來考慮我們3位飢餓的朋友，羅納德喜歡麥克唐納勝過伯格王，而伯格王又勝過溫迪。已知這些優先選擇，要他喜愛溫迪勝過麥克唐納，對他說來是不合理的。然而，這些卻恰恰是我們的朋友作為整體時的優先選擇！在集體表決中，他們寧願去麥克唐納而不去伯格王，寧願去伯格王而不去溫迪，寧願去溫迪而不去麥克唐納。所以，從數學的觀點來看民主是不是有內在的不合理呢？

組別 選票數 選舉意願（從最好到最差）

現在當選定額是22票。由於選民的選舉意願完全相同，要是阿蒂拉不再當選，那麼它將是反常地矛盾。但是反常的情況還是佔優勢。由於沒有一個人能得到規定額選票，所以吉·喬被淘汰了，而其支持者的8票轉移到他們的第二選擇，也就是投漢道特的票：

別民 選舉意願順序（從最好到最差）

C』 2 漢道特 吉·喬

C 3.2 馬尼福爾德博士 迪濟特博士 波因特博士

由於沒有一位候選人達到定額，因此波因特博士被迫退出，而其支持者加入C組；

對於阿爾和本兩者來說，最佳的策略莫過於在把查理除掉之前彼此之間不進行爭鬥；而查理的最佳對抗策略仍然是把鏢擲向較硬的對手阿爾。在這種形勢下，阿爾和本獲勝之機會分別增加到44％和46.5％，而查理獲勝的機會則會戲劇性地下降到9.1％。然而這種局面可能是不穩定的。因為它需要阿爾和本進行合作。雖然阿爾是最佳的擲鏢手，但他還是沒有取勝的最佳機會，他可能想欺騙本。但是如果他不能用欺騙的飛鏢把本擊敗，則本可能回擊，而且計算出來的獲勝機會將會再次發生變化。

C、B』 5．8 馬尼福爾德博士 波因特博士

B」 2 格拉夫博士

美國羅徹斯特大學的威廉·賴克在其《政治科學中的數學應用》一書中分析了1956年眾議院關於要求聯邦政府資助學校建設議案的表決情況。當時提出了修正案，要求聯邦政府只向那些已經取消種族隔離學校的州進行資助。眾議院實質上已分成三個利益集團：共和黨人、北方民主黨人和南方民主黨人。反對聯邦資助，但

集體的優先選擇：

組別 選民數 選舉意願順序（從最好到最差）

對策論中的數學可以與許多其他抽象數學學科中所涉及的數學進行簡單的比較。但它決不是無價值的。的確，數學常常會導出反直覺的或者違背所預期的結果。數學的簡明性不會使對策論的嚴密性比高維拓撲學的嚴密性更差，刊登這種問題的雜誌也只有一小部分博士能夠讀懂。簡明性甚至可能是優點：對策論中的數學是這樣容易理解，從而幾乎沒有可能由於文獻中的數學論述模糊難懂而引不起人們的興趣。

布拉姆斯還認為，在不需要最後角逐的簡單多數選舉中，候選人在預選投票中有何進展的公告也可以產生同樣的反常效果。假定上述的第一組選舉意願中有兩位D組選民喜歡選奧羅克而不選迪拿芝，投票的結果將通知傑斐遜的支持者，他們支持的候選人已處於最後一名。於是傑斐遜的支持者得到了信息，他們必須放棄他們支持的候選人，策略性地轉投他們的第二選擇意願迪拿芝，迪拿芝因而將當選。假定上述的第二組選舉意願中，迪拿芝得到了D組選民的支持，投票結果將通知奧羅克的支持者，他們支持的候選人已處在最後一名。理所當然地，他們將轉而支持傑斐遜。儘管迪拿芝也獲得兩位以上選民的支持，傑斐遜還是擊敗了迪拿芝。實際上，民意測驗代替了第一輪投票，使實際選舉相當於最後的角逐。

選民數 選舉意願（從最好到最差）

合併成一大選區

現在再考慮當這兩個選區合併成單一選區時會發生什麼情況，其中42位選民的選舉意願仍然不變：

組別 選民數 選舉意願順序（從最好到最差）

多隆在另一篇論文②中指出，黑爾選舉制的另一種困境是：一位候選人在兩個單獨選區內都可以獲勝，而在兩個選區的合併投票時卻會落選。在多隆的例子中，1個候選人由4組選民選舉。每個選區有21位選民，因此每個選區當選的定額是11票。

當然，本也不善罷甘休。因此他也會像阿爾那樣，對查理髮出警告：「只要你不向我擲鏢，我也不向你擲鏢。要是你向我攻擊，我也以牙還牙。」面對來自兩個對手的威脅，查理的最佳策略是不對兩者中任何一位攻擊，而是擲向空中，假定規則允許持這種消極態度的話！蘇比克解釋說，這種奇特的策略對查理來說是最好的，因為只要沒有人攻擊他，那麼他在遊戲第一階段中的惟一目標就是在第二階段中增加他與本的一對一的對抗，而不是與阿爾對抗。查理聰明的手腕已使他獲勝的機會增加了0.6％，因而對阿爾來說獲勝的機會現在是38ｈttｐｓ://ｒeaｄ.９９cｓｗ.ｃｏｍ.1％，對本來說則為25.7％，對查埋來說則是36.2％。不過這還不是最後的定論。如果阿爾擴大了他的威脅面，從而使查理不再向空中擲鏢，那麼局面就會變得愈加奇妙。

布拉姆斯在《政治學中的悖論》一書中總結了更複雜情況中群體非傳遞性概率的最新研究，其結果是在選擇對象和投票人數目增加的兩種情況下，非傳遞性的概率才增加，但它對選擇對象的數目更為敏感。如果選擇對象固定數為3時，則悖論的可能性會略有增加，從5．6％（投票人為3時）增加到8．8％（投票人數接近於無窮大）。如果投票人固定數為3的時候，則悖論的可能性會陡然上升，從5．6％（選擇對象為3時）增加到100％（由於選擇對象數接近無窮大）。的確，布拉姆斯特別提到對於投票人的任何固定數，由於選擇對象數無窮地增加，悖論的概率必然會逐漸上升。

C 5 迪濟特博士 馬尼福爾德博士 格拉夫博士 波因特博士

C 4 奧羅克 傑斐遜 迪拿芝

對於修正案的表決，共和黨人和北方民主黨人一起投票，贏得了表決。但是在第二次表決，即在修正案和不否定議案之間表決時，共和黨人與南方民主黨人聯合，否決了修正案。在這裏，這種悖論表現為：在沒有修正案的情況下，要在原議案和否定議案之間進行直接表決，則原議案無疑會贏得勝利！

7 阿蒂拉 吉·喬

B』 2．6 波因特博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士

6 漢道特 弗里拉夫 吉·喬 阿蒂拉

挫折的多數的悖論不僅僅折磨著稀奇古怪的黑爾選舉制，而且還折磨著許多普通的選舉制，諸如簡單多數選舉制等。設想「自由派」先生（49％的優勢），「溫和派」先生（10％的優勢）和「保守派」先生（41％的優勢）之間進行三方競選。現在考慮三派中每一位選民的第二選擇。自由派選民當然喜歡「溫和派」先生勝過「保守派」先生，因而在這些候選人之間的兩方競選中，「溫和派」先生將當選。他獲得選票的59％（對「保守派」先生的41％）；而保守派的選民們必定喜歡「溫和派」先生勝過「自由派」先生。所以在這些候選人之間的兩方角逐中，「溫和派」先生可得51％的選票（對「自由派」先生的49％），也將當選。然而，在三方竟選中，「溫和派」先生將落在最後。在一些預選中，如果沒有候選人獲得半數以上的多數票，那麼要在兩位得票最多的候選人中間進行最後的角逐。即使「溫和派」先生在兩方競選中能夠擊敗任何一個對手，但他也可能被阻止進入最後的角逐。

A，D』 19 阿蒂拉 漢道特

在兩個選區內，最初時無一人達到定額11票。在第一選區，漢道特得到倒數第一位的選票，被淘汰了，他的支持者的選票都轉給阿蒂拉，使阿蒂拉得到11票當選。在第二選區，阿蒂拉從選票最低的候選人弗里拉夫處獲得3票，成為當選者。

在認可選舉中，當選者將不是在簡單多數選舉中由於其對手分散了選票而獲得勝利的候選人。認可選舉制不太可能使多數派的希望受挫。而且當多數派還沒有明確的選舉意願時（換句話說，當存在群體非可遞性時，即當群體喜歡麥克唐納勝過伯格王，喜歡伯格王勝過溫迪，而喜歡溫迪又勝過麥克唐納時），認可選舉制將就大多數人所贊同的意願進行選擇。我們可以看出，當羅納德、克拉拉、赫布依靠2票來選擇餐館進餐時，那是多麼有利於不誠實的投票，即為你的第二選擇而不是你的第一選擇投票。當有3位候選人時，認可選舉制就可防止這種不誠實的投票：決不會出現有利於你投第二選擇的票而不投第一選擇的票這樣的情況。此外，在認可選舉制中，決不會出現留在家裡並不去投票反而得利的情況，如同你在黑爾選舉制中所做的那樣，而且也不會在選區合併或分開時發生滑稽可笑的事情。

8 吉·喬 阿蒂拉

10 漢道特 吉·喬 阿蒂拉

答案很明顯。每位擲鏢者都得把目標對準較強對手的氣球，因為如果把它擊中，他所要面對的只是較弱的擲鏢手。不過，如果所有3位參賽者全都採用這種切合實際的試探策略，那麼他們會得到與擲鏢技巧相反的結果！概率計算顯示，查理這個最差的擲鏢手，取勝的機會最大（37％）。而阿爾這個最好的擲鏢手，獲勝的機會最低，為30％。本的獲勝機會也只有33％。

① 見多隆和克羅尼克著《單一的可轉移選票：反常的社會選擇功能的一個實例》，美國政治科學雜誌4期（1977年5月）：303—311頁。

C 4 奧羅克 傑斐遜 迪拿芝

A 3.9 迪濟特博士 波因特博士 馬尼福爾德博士

因為伯格王是克拉拉的最後選擇，她會很不高興。如果克拉拉在第一次投票不選擇她真正喜愛的溫迪，而改而投選她的第二選擇麥克唐納，那麼她就能確保麥克唐納在第一次和第二次中都能贏得表決。克拉拉由於開頭違背了她自己的意願而最終實現了所喜愛的結果，這就是悖論。

由於沒有一個候選人能達到定額，得票最少的候選人馬尼福爾德博士就被淘汰掉，而其支持者的3.2票會轉移到他們選舉的選票高的候選人波因特博士身上：

② 《黑爾選舉制是矛盾的》政治研究雜誌第27期（1979年6月）：283—286頁。

D 6 弗里拉夫 漢道特 阿蒂拉

現在設想除了最後一組選民把迪拿芝從第二選擇抬高到第一選擇之外，其餘的選舉意願均相同：

B 3.9 波因特博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士

由於沒有一位候選人獲得11票，最低得票者波因特博士落選了，而他的支持者的3票都被轉移給C組：

D 2 奧羅克 迪拿芝 傑斐遜

D 3 波因特博士

況且，在布拉姆斯的反例中，如果B組中有太多的選民試圖進行巧妙投票並投了不足的選票，那麼結果會失控。假定6位選民中有5位在其投票中只投格拉夫博士，那麼在第一次投票之後，情況就會變成：

C 5 格拉夫博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士 波因特博士

這3位朋友決定用表決方法解決問題，首先在麥克唐納和溫迪之間選擇，然後在取勝者與伯格王之間進行表決。如果羅納德、克拉拉和赫布每人都按他們所實際喜愛的投票，那麼他們最後會選定伯格王（第二名則是溫迪）。

A 3．9 迪濟特博士 馬尼福爾德博士

此處布拉姆斯提出的事例，可能有利於縮短你在黑爾選舉制中的投票時間。現有11張選票和4位候選人競選1席公職。

黑爾認為，所選出的代表應更精密地反映全體選民的構成，他巧妙地設計出一種複式選舉制，它要求每位選民按其選舉意願順序列出候選人名單，使選民能在候選人中間區別他們。然後把第一選擇投票列成表格，而候選人只要達到定額選票，都要當選。

在第一次投票中，迪拿芝（8票）和傑斐遜（5票）進行角逐，於是迪拿芝輸了，8票https://read.99csw.com對9票，因為奧羅克的4位支持者成為了傑斐遜的支持者，迪拿芝獲得的支持雖有增加，但卻反常地破壞了他的勝利。

布拉姆斯說道：「像每一位有自尊心的政治科學家一樣，我考慮應在政府中從事某些工作，但不願意在和平隊里幹活。」在1963年和1964年夏季里，他先在國家衛生研究所任所長，而後又到國防部部長辦公廳任職。當他完成研究生學業時，他已把整個身心投入國防分析研究所的工作，那是一家非盈利的研究機構。主要是為聯席參謀長和國防部長辦公室工作。布拉姆斯回憶道：「我被特別僱用從事如何在國防部進行決策的研究。在6個月內，我設計並預先試驗了一種調查表。我將要進入戰地並會見一些高層人物——副部長、將軍、艦隊司令——可是國防分析研究所所長停止了這些研究工作。這時越南戰爭升級，熱化，而所長認為這項研究太成問題，特別是由於國防部是國防分析研究所的主要委託人。我感到非常惱怒，並且斷定能夠自由和獨立地做我想做的事的惟一地方是大學。」

在第一次選舉中，第二位候選人未能達到定額，所以得票最低，也就是說波因特博士就被淘汰掉，而他的支持者的2．6張選票要歸併到C組中：

由於惟恐你認為布拉姆斯的反例取決於當選票按比例地轉移時而產生的分數，他解釋了另一個反例，只是在這個反例中，全部選票由於候選人被淘汰而轉移。這個實例涉及了21位選民，他們要從4位候選人當中選出1位代表。由於只有1位候選人被選，因此這種投票選舉制是一種淘汰競選，選舉則在1位候選人獲得11票的微弱多數后就立即終止。我把這個問題留給你，讓你充當對策論學家的角色並解釋一個反例。當然，其目標是以下述方式確定選舉意願，即讓一些選民可以從不理會美國數學學會的意見而得到好處。（在本章最後你會看到布拉姆斯所提出的反例。）

黑爾曾特別為下述事實所苦惱：在傳統的比例代表制中，每個選區選舉一位以上的候選人，實際上，為數甚多的少數選民可能會被剝奪掉選舉權，儘管他們的原號碼表明他們有資格選出代表。現考慮一個假設的選區，要從4位候選人中選出兩位代表。把其中的兩位候選人稱作匈奴人阿蒂拉和吉·喬，他們都是典型的保守派人士，兩人中阿蒂拉是極右人士。另外兩位候選人是哈爾·漢道特和弗里達·弗里拉夫，他們都是自由派。兩人中弗里拉夫更富有同情心。該選區內有23位選民，其中13位是保守派，10位是自由派。23位選民的選舉意願，按照對候選人的選擇從第一選擇到最後選擇的順序排列如下：

③ 見菲什伯恩和布拉姆斯的《選舉投票的悖論》，數學雜誌第56期（1983年9月）：207—214頁。

B 5 傑斐遜 迪拿芝 奧羅克

其餘的兩位候選人都少於定額的6票，但波因特博士由於票數較少而被淘汰，而馬尼福爾德博士就被宣布當選。B組中兩位聰明的選民標出了不足的選票反而得到更可取的結果：他們的第三選擇而不是第四選擇就贏得了一個席位。

這次馬尼福爾德博士必須退出競選了，剩下的迪濟特博士是獲勝者，與原先B組的6位選民在他們的選票上排列全部4位候選人時他所處的位置一樣。

在民主表決中的數學悖論已由世界上一位大對策學家史蒂文·布拉姆斯進行了廣泛研究。他不僅把數學用於涉及表決方面的各種問題，還用於各種各樣看來難以進行定量分析的問題。在他的《總統選舉的對策》一書中，布拉姆斯使用對策論分析了理查德·尼克鬆總統的行為和最高法院關於那件迫使總統交出有罪的「白宮錄音帶」的案例。他在《聖經的對策》一書中把對策論用於分析舊約全書中上帝和人類的矛盾，並得出結論：上帝是個出色的策略家，一位敏感的、沉思的，又為他在世上的聲譽所困擾的武斷的神。在《高傲的神：如果他們存在，我們怎能知道？》一書中，他探討了無所不知、無限權力、不朽的生命和不能理解性的對策論含義。布拉姆斯還將對策論應用於實際之中，從超級大國的矛盾和職業運動員的選拔到勞工管理談判以及電視演播計劃等種種主題。

C 5 迪濟特博士 馬尼福爾德博士 格拉夫博士 波因特博士

如果所有的選民都誠實地投票，那麼迪拿芝（得6票）和奧羅克（得6票）將進行角逐，最後迪拿芝當選，11票對6票。

組別選票數 選舉意願順序（從最好到最差）

C 5 格拉夫博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士 波因特博士

美國數學學會的投票包括兩種強硬的說法：「標出較少的候選人不會獲得戰術上的有利條件。」以及「按你的選舉意願順序標出候選人，直到你認為不了解或你不感興趣而沒有標出的候選人，這是可取的。」而布拉姆斯舉出了一個能夠證明這種做法是不真實的例子，它可能有利於標出較少數的候選人。假定有17位選民，2個待選席位和4位候選人，現稱他們為格拉夫博士、迪濟特博士、波因特博士、馬尼福爾德博士，選民的選舉意願順序如下：

羅納德的優先選擇：

其他可能的表決順序——即首先在麥克唐納和伯格王之間表決，而後在獲勝者與溫迪之間表決——情況也並不好些。

仍然沒有一位候選人獲得簡單多數票，於是又有一位不受歡迎的候選人馬尼福爾德博士被淘汰了。當他支持者的6票和A組的7票聯合在一起時，格拉夫博士入選了，他獲得13票。

漢道特擁有11張選票，因此當選了。

組選

6 吉·喬 阿蒂拉 漢道特 弗里拉夫

阿蒂拉已再次立即當選，沒有超額選票轉移。然而這次最低票數當選者是弗里拉夫，不是吉·喬。而且弗里拉夫的4票與E組中的5票結合，選出吉·喬，超出定額：

布拉姆斯鼓吹一種選舉制——認可選舉制。它既可完全消除這裏討論的悖論，減低它發生的可能性，也可減少它的影響。這種認可選舉以「一人多票」的原則取代由來已久的「一人一票」的原則。換句話說，雖然每位選民對每位候選人只能投一票，但是每位選民只要他喜歡就可以認可許多位候選人（即都投他們的票）。其概念就是，選民不必擔心他的選票白白浪費在不受歡迎的候選人身上（比如說，在1980年的總統選舉中的約翰·安德森），因為選民還可以再投另外他認可的候選人，不論他是誰。

A 3．9 波因特博士 馬尼福爾德博士

組別 選票數 選舉意願順序（從最好到最差）

4 弗里拉夫 漢道特 吉·喬 阿蒂拉

贊成取消種族隔離的共和黨人完全贊成否定議案，但相比之下，寧願要修正案而不願要原議案。而北方民主黨人贊成修正案，但寧願要原議案而不願要否定議案。南方民主黨人都是來自實行種族隔離學校的各州，他們贊成原議案，但寧願要否定議案而不願要修正案。

定額需要計算，它應是第一位選票的最小數，使得最大數目的候選人都能達到與候選九*九*藏*書席位數相符合的定額。例如上述例子中，有23位選民和2席候選席位，當選的定額應是8票；這樣只有2位候選人（並非3位）能得到8票的第一位選票。定額定為7票又太低，因為有3位候選人可能會達到這個定額；由於只有兩個待選席位，因此達到定額的候選人多出了一位。（一般說來，定額可用下法求出，即用選民數除以比待選席位大1的數，再加1即為定額數，但要捨去得出的任何分數。）

悖論還會更加深刻。假設在政治領域內，「自由派」先生是屬於中間偏左的，而「保守派」先生只是中間略微偏右。那麼，在「自由派」先生和「保守派」先生中間進行最後競選時，所有溫和派選票都會投向「保守派」先生，使他因獲得51％的選票而當選。現在由於在選舉意願上有這樣巧妙的聯合，於是「保守派」先生要靠兩票方可當選。「自由派」先生只靠一票就能當選，而「溫和派」先生卻具有在面對面競爭時擊敗任何一位對手的能力。所以說在你選擇你的選舉制時，也就選擇了你的當選者。

並以我們的老朋友阿蒂拉、吉·喬、哈爾·漢道特和弗里達·弗里拉夫為例。這次該選區有26位選民，有2位候選人當選，所以定額為9票，26位選民的意願是多種多樣的，不必劃分自由派陣線和保守派陣線：

現在哈爾·漢道特已超過定額2票，因此他已當選，他的超額兩票已轉移到吉·喬身上：

在第一個順序表上，格拉夫博士再次成為全體選民一致選擇。他支持者的11票超額選票的6／17分配給A組，4／17分配給B』組，2／17分配給B」組，還有5／17分配給C組。於是B」組就被淘汰了。因為其成員除在第一選擇外不能再標出其選舉意願了。因此情況形成如下：

C 3．2 馬尼福爾德博士 迪濟特博士 波因特博士

麥克唐納→伯格王→溫迪

布拉姆斯對應用數學感興趣還得追溯到他在麻省理工學院當大學生時，那時蘇聯剛剛發射了人造地球衛星。他曾有志於主修物理學，但他發現他在實驗室里是一個十足笨頭笨腦的人，從而打消了這個念頭。那些損壞的設備，使他清醒了，他轉而攻讀數學，並在數學領域一直遙遙領先。他還選修比較新的政治科學系中大名鼎鼎的教授的課程。在那裡他發現了他的專長：把數學應用於政治形勢上。他的第一批成果主要涉及對國標貿易流通進行數學模擬的統計工作。離開麻省理工學院，他又到西北大學當研究生。因為他在政治科學方面有一種標新立異、特別的定量分析課程。

A 7.1 迪濟特博士 波因特博士

假設至少有一位候選人達到了定額選票，而且至少仍有一個席位空缺待選，那麼當選的候選人超出定額的選票會按比例地轉移到那些選民票數多的候選人身上。如果這種轉移促成另一位候選人達到定額，那麼他也當選；而且如果席位仍然未滿，則超額的選票會再次按比例地轉移。這個過程會繼續下去，直到所有席位選滿為止。如果在任何一處還有待選席位，但卻沒有超額選票轉移，那麼得票數最低的候選人就會被淘汰掉，而他的支持者會簡單把他們的選票轉移到他們選擇的、票數最多的、仍在參加競選的候選人身上。這個概念就是不會有選票作廢的概念；如果選舉需要選出的不只是一位候選人，可以在別處計票；如果把它分散在最少選票的候選人身上，也可以在別處計票。

黑爾選舉制的問題，要比這些公認的人為的反例深得多；僅僅知道某些選舉意願，或只有一些選民確切掌握有關他們競選夥伴的全部選舉意願，這些難題就會出現，如果「敵對」的選民沒有採取有效的對抗策略，或者如果相當多具有同樣想法的選民不試圖採用巧妙的花招，問題也同樣會出現。羅徹斯特大學的吉迪恩·多隆和理查德·克羅尼克提請人們注意黑爾選舉制的反常特點，即使所有選民都能誠懇地投出反映他們全部選舉意願的選票，這種反常特點也會出現。①多隆和克羅尼克注意到，在黑爾的選舉制中，一位候選人如果接受附加選票，那麼他可能受到損害。的確，多餘的選票可能使一位當選者成為落選者。

B 6 馬尼福爾德博士 格拉夫博士 迪濟特博士 波因特博士

摘自史蒂文·布拉姆斯著《政治學中的悖論》（紐約，1976年自由出版社）第42頁。

儘管認可選舉制具有這些明顯的優點，但顯然沒有被世界上任何公共論壇（除了少數專業學會外）所採用，只有在聯合國安全理事會選舉秘書長職位時採用過，其會員國可以投一人以上候選人的票。美國的紐約州和佛蒙特州都曾考慮採用認可選舉制，但制定的議案已在州立法中被否決。對策論學家在影響公眾政策方面所起的作用還是微不足道的，即使是在他提出一個建議，而該建議對社會的益處在數學上似乎是無懈可擊的時候。

漢道特已得到23票，成為勝者。

賴克得出結論：「選擇可能取決於表決順序這種看法似乎還是不夠的，這一事實可以用來扭曲立法程序的結果。它有可能會產生一種表決上的悖論，即使議案在悖論產生之前就已獲得通過，也會使立法機構無法採取行動。立法議員可以提出修正案，使這種悖論得以產生，而且如果表決程序恰好正確的話，那麼修正議案將會被否決。」

B 6 漢道特 吉·喬

B 5 傑斐遜 迪拿芝 奧羅克

B 8 漢道特 弗里拉夫 阿蒂拉

B 6 格拉夫博士 波因特博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士

6 吉·喬 阿蒂拉 漢道特

在民主投票中所固有的不民主悖論可以用一實例進行很好的解釋。現有3位朋友，羅納德、克拉拉和赫布，他們在辛苦工作一天之後，渴望吃一頓快餐。他們決定一起到3家餐館（麥克唐納、伯格王或溫迪）中的一家去就餐。但3人不能取得一致意見。羅納德渴望在麥克唐納餐館吃飯，那裡有漂亮的分餐盤，裏面裝著油膩的漢堡包和大量新鮮的炸土豆條，至於其他兩家餐館，他喜歡伯格王，然後才是溫迪。克拉拉想去吃牛排，因而他喜愛溫迪勝過麥克唐納，最後才是伯格王；赫布想吃大|乳酪餅，因而最喜歡伯格王，最不喜歡麥克唐納。

這時吉·喬也已達到定額票數，所以他贏得了另一席位。

選民數 第一選擇 第二選擇 第三選擇 第四選擇

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阿羅的論證，稱之為不可能性定理（因為它證明了完全民主在事實上是不可能的），該論證已幫助他於1972年獲得了諾貝爾經濟科學獎。對策論中最早的和最驚人的成果之一，也就是阿羅的「毀滅性發現」所產生的影響使人們至今還能感覺到。

A 16 阿蒂拉 漢道特 弗里拉夫

對策論是對衝突進行數學分析，它存在於政治、商業、軍事或各項事務之中。對策論誕生於1927年，由數學全能行家約翰·馮紐爾曼創立。馮紐爾曼認識到經濟與政治中的某些決策條件在數學上與某些策略對策等價。所以從分析這些對策中所學到的東西可以直接應用於現實生活中的決策上。九九藏書在1944年馮紐爾曼與普林斯頓大學經濟學家奧斯卡·摩爾根斯特朗合著的當代經典著作《對策論與經濟行為》出版之前，對策論，也叫衝突的科學，是鮮為人知的。

D組的3位選民不高興，因為他們的最後選擇竟是當選者。假設他們在選票上只標出第一選擇的話，那麼：

組別 選民數 選舉意願順序（從最好到最差）

由於阿蒂拉已經達到定額票，他當選了。阿蒂拉沒有超額的選票，所以是最低票數的當選者，而吉·喬被淘汰了，他的5張選票轉移給B組：

過多的選票能使一位當選者成為落選者這一反常的可能性，不僅僅是黑爾選舉制的人為產物。美國電話電報公司貝爾實驗室的數學家布拉姆斯和彼得·菲什伯恩在其合著的《認可的選舉》一書中指出，它還可能困擾著類似於流行的相對多數選舉這樣的選舉制，該選舉制必然會產生2位得票最多的候選人之間的最後角逐。現在考慮3位候選人，馬爾柯·迪拿芝、帕特里克·奧羅克、巴茲爾·傑斐遜，同時有17位選民，他們的選舉意願如下：組別 選票數 選舉意願（從最好到最差）

組別 選票數 選舉意願（從最好到最差）

這種反常結果也可能在相反的情況下，即當大選區劃分成兩個較小的選區時出現。不論合併成大選區或是劃分成小選區，這種可能性「將使不公正地劃分選區成為一種非常具有吸引力的選擇，從而影響其選舉結果」，多隆得出這樣的結論。

同前面一樣，最初沒有一位候選人獲得11票，於是波因特博士被淘汰了。然而這次他的3票沒有被轉移，因為他的支持者沒有表明任何其他選擇意願。剩下3位候選人，迪濟特博士現在成為最不受歡迎的候選人。當他的5票加入B組時，馬尼福爾德博士就嶄露頭角成為當選者——一個更合D組選民胃口的結果。

組別 選民數 選舉意願順序（從最好到最差）

它只會給羅納德以進行機敏投票的機會：雖然這3位將要就餐者遇到的窘境是虛構的，但它卻不是編造出來的。在一系列的投票中，是從3個或者更多候選者中選出一個獲勝者，巧妙投票的可能性可以在任何多數規則的表決中出現。

C 9 漢道特 阿蒂拉 弗里拉夫

7 阿蒂拉 吉·喬 漢道特 弗里拉夫

對策論的評論家們不時指責它是一門詭詐科學，為贊成政治掮客的狡猾策略而打上了數學的印記。然而對策論不會產生表決的悖論，它只不過用形式的方法來認可它們而已。1956年眾議院就學校建設議案所做的悖論表決是自然產生的，而不是由於國會眾議員們從馬基雅維里式的某些對策論雜誌中獲得的提示得來的。

況且，即便羅納德和赫布識破克拉拉的策略，他們也不能有效地加以干擾。赫布很生氣，這是由於克拉拉巧妙的投票才使他的第三意願餐館成為獲勝者。反之，克拉拉這一方的「誠實」投票就會使赫布的第一意願成為獲勝者。赫布試圖說服羅納德，讓羅納德和他一起合謀進行某種不誠實的投票。但羅納德不願意參与，因為這樣做也不可能改變他自己的處境。克拉拉的投票已使羅納德的第一選擇的餐館成為獲勝者。

D』 3 弗里拉夫 阿蒂拉 漢道特

A 6 迪拿芝 奧羅克 傑斐遜

表決順序的改變也不能消除巧妙投票的可能性。它所能做的是給別人而不是克拉拉不誠實投票的機會。假定這3位朋友首先在伯格王和溫迪之間進行表決，再對獲勝者與麥克唐納進行表決，如果他們全都「誠實地」投票，那麼最終會選擇麥克唐納，使赫布大失所望。

回答提出的問題

問題出在哪裡？問題就在於阿爾和本自己互相拚鬥時，查理幾乎不受任何威脅。由於阿爾和本彼此都堅持他們開始的策略，而使查理增強了他的倖存能力。

1951年，美國經濟學家肯尼思·阿羅令人信服地論證：任何可以想得出的民主選舉制度可能產生出不民主結果，這一論證使數學家和經濟學家感到震驚。阿羅這種令人不安的對策論論證立即在全世界學術界中引起了評論。

B 3.9 波因特博士 迪濟特博士

無須試圖進行嚴格的論證，我們就能很容易地理解，氣球戰可能類似於政治或經濟的競爭。按照紐約大學政治學教授斯蒂溫·布拉姆斯的看法：氣球戰的知識可以擴展到多位候選人的政治競選上，諸如1984年新罕布希爾州的民主黨總統預選，當時有8個候選人競選。布拉姆斯說道：「看來這些候選人的最佳戰略，莫過於在他的部分政治勢力範圍內追隨最強的對手。如果你是一個自由主義者，而且另外還有兩位自由主義者，那麼你就要追隨最強的一位。於是所發生的情況將是兩位最強的對手就會彼此攻擊，而且最弱者就會存留下來了。」這時，如果所發生的情況全面出現，那麼最弱的候選人就會在其政治勢力範圍內倖存下來。布拉姆斯說：「這是沒有辦法的，強有力的候選人會在這類競選場合中嶄露頭角。」

如果阿爾不與本合作，不論他是否可以欺騙本，他可能試用另一種策略，這個策略曾在耶魯大學數學研究所經濟學教授馬丁·蘇比克所著的《社會科學中的對策論：概念與解法》一書中討論過。

1952年，後來在經濟科學方面獲諾貝爾獎的保羅·賽繆爾森這樣寫道：「它證明了探索完全民主的歷史記錄下的偉大思想也是探索一種妄想、一種邏輯上的自相矛盾。現在全世界的學者們——數學的、政治的、哲學的和經濟學的——都在試圖進行挽救，都試圖挽救阿羅的毀滅性發現中能夠挽救出的東西，對數學政治來說，這一發現就是1931年庫爾特·哥德爾的數學邏輯的不可能證明一致性定理。」

如果赫布足夠機敏，能預見到這個結果，那麼他應在第一次投巧妙的一票，以促使他們最終轉向選擇溫迪。

D』 2 迪拿芝 奧羅克 傑斐遜

漢道特和吉·喬的當選使黑爾興奮：不論保守派還是自由派都有了代表，每個陣營中比較激進的候選人均未能當選。這樣一種結果給約翰·斯圖爾特·穆勒以深刻印象，他稱頌黑爾的選舉制是「在政府的理論和實踐方面所做出的最偉大的改進之一」。今天，黑爾的選舉制已廣泛地用於澳大利亞、馬爾他、愛爾蘭共和國和北愛爾蘭的立法選舉和紐約市的學校董事會選舉以及馬薩諸塞州坎布里奇市的市政委員會選舉上，更不必說許多像美國數學學會這一類的專業組織的投票選舉了。

格拉夫博士贏得了17張選票，定額為6票，超額了11票。因此這11票需要轉移。在這種情況下，選民們都支持當選者，不會再做其他選擇了。而黑爾的選舉章程（這是美國數學學會所遵循的）要求將超額的11票按比例地轉移：11票的6／17轉移到A組，11票的6／17轉移到B組，而11票的5／17轉移給C組，其結果如下：

D 3 波因特博士 迪濟特博士 馬尼福爾德博士 格拉夫博士

B組的6位選民（其選舉意願順序為格拉夫博士、波因特博士、馬尼福爾德博士和迪濟特博士）為他們的第一選擇當選而高興，但也感到不安，因為九-九-藏-書他們的最後選擇也當了選。假定選舉重複下去，一切照舊，那麼6個選民中就有兩位決定不去理會美國數學學會的說法（「標出較少的候選人不會獲得戰術上的有利條件」），而且都把選票投在格拉夫博士身上。這樣選舉意願就會分成4類：

A 7 格拉夫博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士 波因特博士

當美國眾議院提出一項議案修正案時就會發生這樣的情況。首先眾議院要就修正案投票表決，如果獲得通過，那麼就應在修正案和完全否定議案之間進行第二次和最後表決。如果修正案未獲通過，則第二次表決是在原議案和否定議案之間進行。

組別 選民數 選舉意願順序（從最好到最差）

為了理解這種反常的可能性，可考慮多隆和克羅尼克的例子。

B 6 馬尼福爾德博士 格拉夫博士 迪濟特博士 波因特博士

在實際的選舉中，這樣的結局可能難以實現，布拉姆斯寫道：「我希望能搞清楚。我並不是說投票者會一成不變地把戰略考慮搞得很絕對（在美國數學學會投票說明的反例中）。這些考慮不僅相當複雜，有時還由於其他選民在對策運用方面的反策略考慮而形成中立。相反，我認為投票者按選舉意願對所有候選人的順序進行排列的意見，在黑爾選舉制下並不總是合理的。」

數

理解這些選舉規則的最好方法是把它們應用於具體實例上。

A 6 格拉夫博士 迪濟特博士波因特博士 馬尼福爾德博士

一旦悖論被正式認可，對策論就能有助於評估悖論通常是如何產生的。例如，現在我們看看法國數學家孔多塞的觀察，由每個人投票決定的群體優先選擇在悖論上可能是「非傳遞性」；如想吃快餐的群體，寧願去麥克唐納而不願去伯格王，寧願去伯格王而不願去溫迪，然而又喜愛溫迪勝過麥克唐納。如果這個群體由3個人組成（羅納德、克拉拉和赫布），而僅當每個餐館首先由一個人排序，其次由另一個人排序，第三再換一個人排序時，這種「非可遞性」就將出現。假定所有可能的個人優先選擇看來都是相等的，則整個群體的非可遞性的機會為5．6％。這個數字看來似乎不大，但要記住這個百分率只不過是針對了個人和3個選擇對象的最簡單情況。

B，C，D 23 漢道特 阿蒂拉

現考慮第二組選舉意願，除兩位選民外，它與前一組相同，原先這兩位選民寧願投弗里拉夫票，不願投漢道特票（C組），現在改而投漢道特票，不投弗里拉夫票（C』組）。換句話說，C』組的選舉意願與B組的選舉意願相同。因而漢道特開始有8張第一位選票，比以前多了兩票：

美國數學學會的全體官員都認為布拉姆斯的論述有誤。這樣一個著名的數學家團體能出現差錯的事實表明對策論的結果是如何令人吃驚。這種錯誤論述出現在美國數學學會的投票說明上，學會會員將使用該說明選出參加特別委員會的代表。對於這次投票，美國數學學會恢復了表決程序，採用單一的可轉讓投票制度（又稱選擇投票法）。它是19世紀50年代後期由不引人注意的英國律師托馬斯·黑爾提出的，他曾撰寫過兩本書，批判傳統的投票制度。

選民數 選舉意願（從最好到最差）

C、D 8 迪濟特博士 馬尼福爾德博士 格拉夫博士

試把這些章程用於我們上面設想的選區內。由於定額是8票，4位候選人中每位都不能達到定額。因此得票最少的候選人弗里達·弗里拉夫就被淘汰掉，而她的4位支持者將他們的選票轉移給哈爾·漢道特，即他們的第二選擇。如果弗里拉夫已從選舉意願表中淘汰掉，那麼其順序表如下：

而這決不是悖論的終結！布拉姆斯與菲什伯恩在一篇有趣的文章中③提醒人們注意黑爾選舉制中兩種擾亂人心的特點：不到場的悖論和挫折的大多數的悖論。在不到場的悖論中，對於排列在最後的一些候選人，增加的選票可以使該候選人成為一位當選者，而不是落選者。換句話說，一些把某候選人排列在最後的選民留在家裡可能要比把該候選人填寫在他們選票的最後好一些；在挫折的多數的悖論中，即使一些候選人可以在面對面角逐中擊敗其他每一位候選人，但卻不能當選。（我極力主張那些渴望成為對策論專家的人們，去構思一些數字的例子，以便一一證明這些悖論；如果你未能成功，你可以隨時請教布拉姆斯和菲什伯恩的可讀性文章。）

這個問題是對策論中諸多問題中典型的一個。其基本前提是每位參賽者都是有理性的，而且都是力圖為自身利益考慮。這個問題的一項教益在於，顯而易見的策略——每位參賽者都試圖除掉較強的對手——並不一定是好策略。這就是我認為解法是反直覺的解釋。當然，由於你更進一步地投身於對策論，那麼你的直覺就會改變，而且如果它是完全意想不到的話，則意想不到的局面就會更加意想不到。氣球戰的另一項教益是，在缺乏有關參賽者能否聯絡、共謀、進行威脅或達成有約束力並可以實施的協議等信息的情況下，對可能的解法是不能進行正確評估的。在對策論中，往往需要了解這樣的社會學因素。

他開始在羅徹斯特大學教學，校內擁有國內最有效地進行定量分析的政治科學系。曾經分析1956年眾議院關於學校建設問題投票的賴克當時正在羅徹斯特大學，於是布拉姆斯從他那裡獲益匪淺，對對策論產生了強烈的愛好。而且，布拉姆斯補充道：「從那時起，我從未離開過這個主題。」

B 6 馬尼福爾德博士 格拉夫博士 迪濟特博士

主要觀點是阿爾通過口頭威脅，試圖形成一種局面，使阿爾與本處於一種拚鬥狀態，但使查理不向他擲鏢，如同第一種情況那樣，而是把鏢擲向本。阿爾聲稱，只要查理不向他擲鏢，他也決不向查理的氣球擲鏢（而且總是把鏢擲向本）。阿爾要讓查理明白，如果查理向他擲鏢，他會還擊的。假如有報復的威脅，則概率計算就會證明，查理最佳做法僅是向本的氣球擲鏢。如果本也攻擊阿爾，則阿爾的總獲勝機會仍為44.4％，本則為20％，查理卻是35.6％，阿爾雖然未能增加其獲勝機會——百分率沒有變化——但現在他是競爭中的領先者。

B』 4 格拉夫博士 波因特博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士

A 7 格拉夫博士 馬尼福爾德博士 迪濟特博士

因此：麥克唐納→溫迪

E、D 9 吉·喬 漢道特

這樣的結果不太反常。回想一下，除了2位選民把漢道特從第二選擇抬高到第一選擇外，所有的選舉意願順序都是一樣的。這樣就具有否定他的選舉的效果。多隆和克羅尼克得出結論：「這簡直太不公平，1位候選人落選了，是因為他（或她）得到的選票過多了。大多數選民可能會十分反感和憤怒，被轉讓了，他們聽到假想的（但是理論上是可能的）選舉之夜的報道：『奧格雷迪先生在今天選舉中沒有獲得席位，但是，如果在第二個地方而不是在第一個地方有5，000名支持者投他的票，那麼他會反敗為勝的！』」

組別 選票數 選舉意願（從最好到最差）