正如巴林斯基和揚在《美國數學月刊》的一文中提到的那樣，羅斯福和國會都不知道等比例法也違反定額。再者，它傾向於照顧較小的州（從5個州的例子中你可以看出這些缺點）。也許你開始認識到，除了由於無法分開一個國會議員所產生的明顯不公正這一因素之外，每種按比例分配的制度都受到悖論的干擾。在巴林斯基和揚1982年出版的《公正的代表制：達到一人一票的理想》一書中，他們提出了一項數學論證：既能滿足定額又能避免亞拉巴馬悖論的按比例分配法是不存在的。

許多開國元勛，包括亞力山大·漢密爾頓、托馬斯·傑佛遜和丹尼爾·韋伯斯特，曾提出他們各自的解決方法。財政部長漢密爾頓的方法最容易理解，他的方法於1792年經國會通過但緊接著被喬治·華盛頓否決——華盛頓在任8年中只行使過兩次否決權，這是其中的第一次。按照漢密爾頓的方法，開始時先給每個州一個代表數，與其理想的代表的整數部分相等，捨棄其分數部分。換言之，如果佛蒙特州理想的代表人數為3．62，它就有3個代表。在這個基礎分配的代表人數上計算出代表總數，如果總數沒有達到眾議院要求的人數，就取那些捨棄了的最大分數值的州的代表，進眾議院。

巴林斯基和揚的強有力的分析會不會在國會掀起一個回到韋伯斯特的方法的運動呢？如果今天用這個方法（而不是等比例法），其惟一的差別就在於新墨西哥州會丟失一個席位，讓給印第安納州。在眾議院人口調查委員會裡，以巴林斯基和揚的分析觀點為武器的印第安納州代表團提出了恢復韋伯斯特方法的提案，可是沒有引起多少興趣（除了新墨西哥州代表團的發火之外），提案就在委員會裡悄悄逝去了。啊，社會選擇理論家真是難逃孤獨的命運！

從1792年至1841年，傑佛遜的方法被採用了大約半個世紀左右。（我說的「左右」是因為有時眾議院的規模沒有預先固定，它受到政治利益的調整，使各州不會在一個新的按比例分配製度下失去代表。）丹尼爾·韋伯斯特意識到傑佛遜的方法沒有給他的家鄉新英格蘭各州以充分的代表名額之後，說服國會採用一個新的按比例分配方案。同傑佛遜的方法一樣，韋伯斯特的方法（也叫最大分數法）是以選擇最大除數為基礎的，但是得出的數字不是自動地捨棄分數，而是按照四捨五入的標準常規計算的。對5個州來說，最大除數是957．2，這樣B州的情況就比其他兩個方法得出的結果更好。

像我們有50個州這樣大的國家，這些州九九藏書的人口數量相互之間又沒整倍數，問題就明顯地複雜了。在一個特定規模的眾議院，每個州的理想代表人數是按該州人口與總人口的比率乘眾議院總成員數得出的。（因此，如果眾議院有235個席位，在一個人口為231，575，493的國家裡，人口為2，559，253的州有資格成為代表的理想數字為2．597099個：2，559，253／231，575，493×235。）既然這個理想數字可能是個分數，並且不允許代表出現四分之一這種數，那就需要有個更好的分配代表的方法了。

將相對的短少數降到最低，這個主意是有吸引力的，但如何衡量短少數呢？在等比例法中，計算短少數是先得出一個州的眾議員選區平均數和另一個州的眾議員選區平均數之間的差額，然後將該差額表示為較小選區規模的分數。在5個州的例子中，等比例法又產生另一種代表分配情況，有利於C州：

用漢密爾頓的方法，在一個26席位的眾議院，A、B、C、D和E開始時分別獲得以下代表數：9、7、5、3和1，但只佔26個席位中的25個席位，D州有最高分數（0.319），因而它可增加一個代表，共4個代表。

在社會選擇理論的最佳方案中（應用數學的一門分支，提出個人的選擇機會應該如何結合起來以形成社會的選擇），巴林斯基和揚沒有停留在只識別各種悖論上，而是繼續研究它們是如何反覆出現的。現實世界畢竟需要一個解決辦法——一個又一個的分配代表的方案。顯然，一種幾乎可以一勞永逸地擺脫悖論的方法比令他們摸不著頭腦的方法更可取。巴林斯基和揚能表明，在任意人口的資料的基礎上，韋伯斯特的方法不論是對於大州還是小州都有利，而且比起其他不受亞拉巴馬悖論的影響按比例分配的方法來更不違反定額。

可是，這個計算短少數的方法，不能先驗地斷定它是公正的。你可以只計算出兩個規模之間的差數，而不必用分數表示出來。或者你可以計算出每個州每位居民所等於的代表的分數，然後把逐個州的分數之差減到最低。也可能還有其他同樣自稱公正的計算方法。

可是，漢密爾頓的方法違背另一個更難理解的公平準則。在我們5個州的例子里，設想眾議院的規模由26個席位增加到27個：

漢密爾頓的方法至少符合一個平等的原則：它給每一個州能夠就近上下浮動的理想的代表數。換句話說，如果D州的理想代表數為3．319，他的方法總會給D州3個或4個代表，永遠不會給2或5個代read.99csw.com表。符合這個自然準則的方法據說能滿足定額。許多別的方法不能滿足定額，這定額似乎是你所希望的一種被認為是公平的按比例分配方法的最低的定額。

在以後幾十年中，傑出的數學家們向眾議院進行標榜，並提供了複雜的公式，以避免亞拉巴馬悖論，他們的公式對大多數政客來說，是莫明其妙的。其中一個公式在1941年弗蘭克林·羅斯福簽署「規定用等比例方法在若干州中按比例分配國會議員代表的法令」時被採納了。

在27席位的眾議院，A、B、C、D和E各州分別獲得9、8、6、3和1個代表數。奇怪的是，即使眾議院的規模增加了，D州卻少了一個代表。這是漢密爾頓方法的一個嚴重缺點。可以這樣想：雖然總人口和D州的人口都一點兒沒有變，眾議院人數增加了，D州的代表人數現在反而較少了。數學上一種令人痛苦的扭曲，叫做亞拉巴馬悖論，使D州處於雙重的不利境地（因為這種悖論是頭一次在牽涉到亞拉巴馬州的計算中發覺的）。上述5個州的例子是邁克爾·巴林斯基和H．佩頓·揚在一篇關於按比例分配的文章中虛構出來的。巴林斯基和揚花了9年時間調查按比例分配問題中數學的悖論，研究按比例分配提案的政治辯論歷史。我的大部分敘述是以他們的著作為基礎的。

每走一步總有些國會議員反對增加眾議院人數，但他們的呼籲無論怎樣有說服力，其他人都充耳不聞。奇怪的是，對於一個較大規模的眾議院來說，它的笨拙不便要比它的非法行為多。紐約州代表塞繆爾·考克斯說的話很有代表性。他說：「一個人不是因為身材高大而偉大。肥胖不是健康或嚴厲。喘息的肥胖病不一定是頭腦機警的狀態。成年人不需要大量的豬油和脂肪。」

為什麼按比例分配是這樣一個問題呢？美國憲法第一條第二款似乎提供了一個直接的答案：每個州派往眾議院的代表人數應與本州人口成比例。問題是，雖然一個國會議員的忠心可分，而他的軀體卻不可分；人就像便士或電荷或亞原子自旋狀況一樣，是量子化的。

沒有按照漢密爾頓的方法做曾引起不小的後果：塞繆爾·蒂爾登1876年喪失了總統職位。在選舉團里，每個州的選舉人數與它的眾議員和參議員人數相等。在那次著名的選舉中，蒂爾登比盧瑟福·B．哈依斯多獲得264，292張民眾選票，但哈依斯卻因比他多獲一張選舉團的選票而使他落選。巴林斯基和揚論證，如果按照法律上要求的漢密爾頓的方法做，蒂爾登就會獲勝，因為支持他的一個ｒｅaｄ.９９ｃsｗ•com州應該增加一個選舉團成員，而支持哈依斯的州就少了一票。

根據上述短少數的計算情況，D州短少了（1106.23—876．50）／876．50，或0．2621。從D州轉移一個代表到C州會把C州的平均選區規模改為1，051．80，把D州改為829．75。這種分配不大公正，因為短少數的相對量增加了，C州短少了（1051，80—829.75）／829.75，或0.2676。如果你玩弄上表中的數字，你會發現，再沒有其他分配代表的方法比用這個短少數計算的方法更公正了。

用類推法就可以理解短少的定義問題。如果我告訴你，鮑勃的年收入超過傑克1萬美元，用這種計演算法——收入的絕對差額——傑克少收入1萬美元，但這並不能告訴你你想知道的有關他們的生活水平的一切事情。傑克可能每年只掙1萬美元，在這種情況下，鮑勃比他多掙100％。可是，如果傑克每年能掙到100萬美元，在這種情況下，鮑勃就只比他多掙1％了。倘若申報的收入不是絕對按美元來報，而是按百分比報，則你需要的其他判斷他們生活標準的信息就會有所刪減。例如，假定你知道鮑勃比傑克多掙100％，這並沒告訴你鮑勃在另外用現金買一幢10萬美元的房子的情況下，是否能生活得同傑克一樣好。如果鮑勃掙20萬美元（傑克掙10萬美元），他就能省出多餘的現金。但是，如果他只掙1萬美元（傑克掙 5，000美元），他只能買一台家用計算機，買不起房子了。這說明沒有一種計算收入差別的方法——不管是以絕對美元、百分比差額、或其他什麼方法——可以先驗地自稱是最好的方法。計算各州派往眾議院代表團的相對的代表短少程度，也同樣如此。

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1881年當人口調查局的科長根據1880年人口統計，在調查歷屆眾議院從275席位到350席位規模的按比例分配情況中，終於找出了亞拉巴馬悖論。他寫信告訴一位議員：「我進行這些計算的時候，我遇到所謂的『亞拉巴馬悖論』問題，我發現在議員總數299位中，亞拉巴馬州分配到8個議員席位，但總數是300時，它只獲得7個席位。」儘管如此，其後20年，亞拉巴馬悖論的缺陷以在理論勝於在實踐的方式繼續存在。

接著在1901年眾議院席位以1900年的人口統計為基礎重新按比例分配時，亞拉巴馬悖論成為一個實際問題，引起了激烈的辯論。大多數議員通過了一項議案，確定眾議院規模為357個席位九-九-藏-書，科羅拉多州獲兩個席位。科羅拉多州議員約翰·C．貝爾譴責「由數學家推出的並稱之為悖論的暴行」。他注意到，在其他每個擁有350至400席位的眾議院，他的州會獲得3個而不是 2個議員席位。在357席位的眾議院，緬因州也受到亞拉巴馬悖論的損害，它的一位議員說：「這就像是數學和科學聯合起來，把緬因州當作板羽球耍……當數學抓住緬因州的時候，願上帝保佑她！」

① 巴林斯基和揚，「按比例分配的定額法」，美國數學月刊82（1975年8—9月）：701—730。

在巴林斯基和揚的5個州例子中，因總人口（26，000）除以眾議院規模（26）是1，000，每一個眾議院成員理想地代表著1，000個人。漢密爾頓的方法是把每州的人口除以1，000，然後除了有最高分數的州外，其餘州的分數全部捨棄，最高分數按需要入到整數，以湊滿眾議院人數。傑佛遜的方法不用1，000做除數（也叫最大除數方法），要求用最大的除數，以產生每個州的代表數，不變動這些數或捨棄其分數，以達到眾議院的規模。換句話說，這些數絕不需要升值。在5個州的例子中，906．1成為最大的除數，由此可得出以下結果：

漢密爾頓的按比例分配方法很容易說明。下表顯示5個州的人口和在一個有26個席位的眾議院中，每個州所能獲得的代表人數。

假定你要在只有兩個州的國家成立一個眾議院：X州有人口11， Y州有人口23。每個州按其人口選派代表，最小的眾議院會是怎樣的呢？最小的眾議院會有34個成員，如果成員少一些，則其中一個州（或兩個州）會出現一個分數代表。換句話說，當H（眾議院的人數）少於34人，X和Y就沒有整數（分別為X州和Y州的代表人數）能符合等式X＋Y＝H和X／Y＝11／23。為人口34而成立的一個34個成員的眾議院，當然不是確切的間接代表制。

如上表所示，傑佛遜和漢密爾頓的方法產生不同的結果。用傑佛遜的方法，A州——人口最多的州——多得一個代表（D州失去一個代表）。傑佛遜的方法幫助了A州並非僥倖，從數學上可以表明其方法對大州有利。他那高傲的演講從未提到過數學的這種偏袒性，雖然，他這個精明的科學家無疑是完全意識到這一點的。但他贊成這種偏袒性，因為他和華盛頓一樣，都是來自最大的州，弗吉尼亞（人口630，558）。確實，1792年第一次實行按比例分配眾議院成員時，傑佛遜的方法（與漢密爾頓的方法相反）保證了弗九*九*藏*書吉尼亞州增加一個代表，從而損害了最小的特拉華州（人口55，538）。

這個亞拉巴馬矛盾——在一個更大的眾議院一個州會失去一個代表——並不是華盛頓否決漢密爾頓提案的原因。確實沒有證據能證明開國元勛們知道這種數學的特殊性。華盛頓在否決漢密爾頓提案時，是被國務卿托馬斯·傑佛遜的論點所左右。傑佛遜告誡說：「不損害憲法是最基本的問題，他們耍弄的按比例分配數字的花招，是很危險的。」傑佛遜自己提出了一個方案，華盛頓採納了，儘管其方案有違反定額的嚴重缺點。

等比例法早在20年前由哈佛大學數學家愛德華·享廷頓提出。他認為，假設在許多州人口不同的情況下，把授于任何兩個州的代表名額做比較，其中一個州的名額難免會短少，短多少可以計算。如果從境況較好的州轉移一個代表到境況較差的州，能減少它們相對的短少數，就應該轉移。例如，拿弗吉尼亞和馬薩諸塞兩州做比較，如發現弗吉尼亞處境較差，短少3個單位，從馬薩諸塞轉移一個代表到弗吉尼亞，局面就會轉變為馬薩諸塞少了兩個單位，這個轉移應該做，因為相對的短少數——2個單位對3個單位來說——是減少了。倘若不是這種情況，而是轉移使馬薩諸塞州少了4個單位，那就不應轉移，維持現狀還公正一些。採用這種按比例分配代表的方式的用意是使相對的短少數減到最低程度。在那些沒有成雙做比較的州需要轉移一個代表時，這種情況將會發生。

米爾斯所說的問題是共和國成立以來眾議院一直面臨的問題：每個州應該分配多少個代表？國會代表按比例分配的數學聽起來像是採用簡單的、人們擁護的一人一票的方法。但是，像直接選舉方案一樣，間接代表制卻受著數學上悖論的嚴重困擾，從而遭到米爾斯議員的強烈抨擊。直接選舉方案的悖論是策略運籌學性質的，它牽涉到選舉人合謀選舉他們自己的候選人。國會代表分配的問題，只是每個州分配到的代表人數，而不是怎樣選代表的問題。按比例分配屬於應用數學領域，叫做社會選擇理論。

1882年，得克薩斯州議員諾加·米爾斯對數學進行了譴責，他的發言是人類最誠懇的演說之一。他說：「我認為數學是一門神聖的科學，它是啟迪神靈的惟一科學，所說的都是正確的。我所受到的教育一直是：數學展示了真理，也知道在天文學、哲學、幾何學和所有其他學科中，總有些問題需要推測，而數學如同《啟示錄》的聲音一樣，它開口時總是說：『上帝是這樣說的。』但是，這裡有個新的數學體系表明，真理就是謬誤。」