0代表什麼也沒有，它被放置在1的旁邊，這樣我們數數超過9時，就可以繼續數下去直到10。

這套教學用具的最大價值在於它能夠給孩子提供一個直觀的計數概念。當孩子說出一個數字時，這個數字就好像是真實的、具體存在的物體一樣，像是數字和實物有機結合的綜合體。我們說某個人擁有100萬，意思是，他擁有的財富可以用100萬個相應的價值衡量單位來衡量，而且所有的這些價值衡量單位都屬於這個人。

如果不通過書面語言和數字進行強化，孩子初期所收穫的這些知識，就很容易荒廢掉。因此，一旦孩子學會書寫文字和數字，這些積累就為將來的教育提供了無可限量的機會和廣闊的前景。

數字本身也是一種單詞，是一種圖形符號，它能使人的數學思維取得無限的進步。

練習的內容包括在數字的對面放上與數字對應數目的東西。孩子可以使用教學用具中的盒子來做這個練習。這個盒子分成不同的小格子，在盒子內側的一面寫著數字，孩子會把與數字等量的木釘放入相應的小格子里。

我們可以說，語言的綜合功能以及它為人類智力領域所建立的豐碩成果都多少可以通過數字來進行演示。現在數字可以代替具體的木棒了。

另一個練習方法是把所有數字元號放在桌子上面，然後在數字的下方放置與數字對應數目的積木、籌碼等。

如果想馬上開始算術方面的教學，我們就必須藉助感官訓練時所採用的教學用具。

在這個練習之後，我們會讓孩子進行自由練習。孩子逐漸掌握了數字的使用，在使用數字的時候，孩子學會如何把單位數字組合在一起。

讓我們來看看立體插孔練習之後我們向孩子們所展示的3套工具，它們分別是：教孩子區分大小的工具（粉紅色立方體）、教孩子認識寬度的工具（棕色稜柱）和教孩子認識長度的工具（綠色木板）。每個系列的10個工具之間都有一定的關係。在認識長度的那一組工具中，最短的那塊木板是其餘所有木板的基本單位，第二塊木板是第一塊木板的兩倍，第三塊九九藏書是第一塊的3倍，而長度增長的比例是每塊木板10厘米，其他的尺寸都保持不變，即所有木板的截面都相同。

除此之外，我們還給孩子準備了一些串珠工具，來幫助他們練習計算。

孩子們進行這些練習時表現出極大的熱情，這對他們而言實際上是一舉兩得，這些練習讓他們在活動的過程中獲得了清晰的觀念。

在數字教學中，孩子要做的比字母學習時要多得多，孩子會看到怎樣把每個數字放在對應的木棒上面。所有數字都以這種方式掌握以後，最先要做的練習就是把數字卡放在按照階梯順序擺放好的木棒上面。這樣擺放好以後，整個教學過程就步驟連貫，有條不紊了，每個步驟都會讓孩子樂在其中，孩子也願意長時間地重複這種智力遊戲。

在教學用具中，有一盒光滑卡片，上面粘有從砂紙上剪裁下來的從0到9的數字。這與粘有砂紙字母的卡片相似。我們採取的教學方法與以往所用大體相同。具體方法是：讓孩子一邊按照數字書寫的方向觸摸數字，一邊同時念出數字名稱。

我們把頭3個木棒放在孩子面前，指著它們或者把它們依次輪流握在手中，在把木棒展示給孩子的時候，我們可以說：「這是1。」「這是2。」「這是3。」我們指著每個木棒的分割線來進行計數，一邊數，一邊確認：「1、2，這是2。」「1、2、3，這是3。」然後，對孩子說：「給我2。」「給我1。」「給我3。」最後，我們指著一個木棒問孩子：「這是幾？」孩子回答：「3。」然後，我們和孩子一起數：「1、2、3。」

如果我們不是用木棒1，而是使用與木棒10一樣長度的木棒，我們就可以數10、20、30、40、50、60、70、80、90。在我們的教學用具中備有一些框架，這些框架裏面有一些卡片，上面印著從10到90的數字。這些數字固定在框架之上，數字1到9可以滑動遮住數字0。數字10的0被1遮住，就會顯示出數字11，如果數字10的0被2遮住，結果就顯示hｔtps://ｒeａｄ•9９csｗ.ｃｏm為12，依此類推，直到最後一個數字9。接著我們轉到20（第二個10），就這樣從10到10。

剛開始用卡片練習組合幾十這些數字的時候，我們可以使用小木棒。我們先從框架的第一個10開始，先拿木棒10。接著我們把木棒1放到木棒10旁邊，同時滑動數字1遮住10的0。然後我們把木棒1和數字1從框架中拿走，把木棒2和數字2放在它們的位置上，一直這樣，直到數字9。最後為了做進一步的練習，我們需要用兩個木棒10來組合成20。

這種簡單的遊戲展示了10以內的加法運算：9+1,8+2,7+3，6+4。孩子要把木棒放回原位的時候，必須先把4拿走，並且把它放回到5的下面，然後，依次拿走3、2、1。在整個過程中，孩子不但把木棒按順序放回原處，同時也做了一系列的減法：10-4、10-3、10-2、10-1。

僅僅使用實際的木棒會把算術的範圍限制在10以內或稍大一點數字內的簡單運算當中，在意識的建立過程中，這些運算與簡單初級的感知教育相比只稍微進步了一點點。

所以，如果我們在數字8的基礎上加上7，就是說，一個數字加上另一個數字，這些數量很明確地代表著同類單位的集合。

教導孩子實際的數字是一個裡程碑，標志著孩子從木棒遊戲向使用獨立單位進行計算的一個飛躍。孩子一旦掌握了數字，就可以在抽象的領域運用數字了，這些抽象的數字是通過之前具體的小木棒而掌握的。具體來說，數字代表一定數量的獨立單位可以組合成的一個整體。

這10件工具之間保持著一定的關係，這種關係與1、2、3、4、5、6、7、8、9、10等計數的自然序列完全一致。

孩子需額外付出努力才能記住以上概念，這點常常使孩子退而不前，阻礙孩子在數字理解方面的進步長達幾個月，甚至幾年。

孩子們天生就具有對事物進行區分的能力，因為孩子們能很容易發覺粉紅色立方體的相關練習是三套練習中最容易的，而九*九*藏*書綠色木棒相關的練習是最難的。我們教導孩子算術時，要選用長一些的木棒，但是需要對這些木棒進行改裝，把它們分成10個部分，每部分長度都是10厘米，並且要把這些木棒分別漆成紅色和藍色。比如，比第一個木棒長4倍的木棒很明顯是由4個相同長度的木棒構成的，它們呈現出紅藍相間的顏色，並且與其他木棒相似。

以上這些只是第一步，是初級階段的內容，關於數學運算方面的具體細節，請參閱我撰寫的其他內容更詳盡的書。然而在這裏，教學工具本身還是能說明一些問題的。在盛放木釘的盒子里，有一個小格子裏面印著0這個數字。在這個格子里什麼也不能放，所以我們從1開始。

孩子們認識長度時所用的教學用具，在教孩子們進行10以內的數字加減法運算時也可以使用，而且使一切變得更簡單。讓孩子們擺放木棒，這可以使孩子所面對的問題變得更加富有趣味性。他先把木棒按照正確順序（擺放長樓梯的順序）擺放好，接著拿起最後一根木棒（1）放在9旁邊。同樣，把（2）放到8旁邊，依此類推，直到5為止。

我們把木棒按順序擺好后就可以教孩子們計數了：1、2、3等，從1數到10。在數數的時候，可以一邊用手點著木棒一邊數數。為了幫助孩子培養清晰的計數概念，我們還是會使用慣用的「三階段」方法來讓孩子對單個的小木棒進行識別。

如果不通過書面語言和數字進行強化，孩子初期所收穫的這些知識，就很容易荒廢掉。因此，一旦孩子學會書寫文字和數字，這些積累就為將來的教育提供了無可限量的機會和廣闊的前景。因此，我們現在所做的事情就是為了給孩子敞開一扇門，一扇通往更高級別水平（文化的水平）的大門，孩子現在可以繼續進步，進入一所學校學習，但不是現今我們所熟知意義上的學校。當今的大部分學校都缺乏理性，老師努力把文化知識填鴨式地灌輸給孩子們，可是孩子們卻沒有做好準備，也沒有進行訓練去接受這些學習內容。

我們向孩子們展示9的時候，孩子的ｈｔtpｓ://ｒeａd•９９ｃｓｗ•ｃｏm手裡所持有的是一根不易彎曲的木棒，木棒本身完整，但它是由用於計數的9個等值的部分組成的。孩子們做加法8+2的時候，就會把兩個木棒連接好擺放在一起，這兩根木棒的其中一根是由8個長度相等的小木棒組合成的，另一個則是由2個長度相等的小木棒組成。但是在一般的學校里所使用的教學方法與此相反，老師在教孩子計算時，為了使計算更容易，會給孩子不同的物品，比如，豆子或者彈球等物品，一旦涉及我所提到的計算（8+2），孩子會拿出8個彈球，然後添加兩個。那麼，一般情況下，孩子的腦海中留下的印象不是自己做了8+2的運算，而是做了1+1+1+1+1+1+1+1，然後再1+1的數算。整個結果對於孩子而言並不那麼清晰，而孩子還必須努力牢記這樣一個概念：8個彈球作為一個整體對應一個單個的數字8。

對於算術，孩子本能地擁有很多必要的知識，這些知識本身就是一種準備，為孩子在計算方面所要具有的清晰概念奠定了基礎。數量的概念已經在感官訓練階段通過使用的教學用具體現出來了：長、短、深、淺等。「識別」和「辨明差異」的概念是感官訓練的實際技巧中所涉及的一部分。感官訓練中既涉及對物體的識別，也涉及對相似物體按順序進行排列。這裏我特別舉一個例子，就是使用圓柱體插孔訓練的第一個練習，這個練習甚至兩歲半的小孩也可以完成。如果孩子把一個圓柱體放入到一個明顯過大的插孔中，那麼最後會有一個圓柱體找不到自己對應的位置，孩子會本能地在一系列的連續練習當中思考為什麼總有一個圓柱體不能對應到自己的位置上。有時候，老師會急於給出關於數字的「一些特定的初級概念」，但是孩子們的頭腦尚未做好準備來接受這些，而通過循序漸進的練習和一個相對緩慢的自我培養過程，孩子的大腦就準備妥當了。

孩子們的頭腦一旦受過訓練，並且沒有對日常練習活動產生厭倦，這個時候為了保持他們頭腦的健康，必須為孩子們設立一種新式學校，讓孩子在九九藏書那裡獲取文化知識。我針對更大年齡段的孩子進行過一些實驗，對他們所使用的教學方法是現在這種教學方法的延續，而且這些方法已經非常先進了。

粉紅色立方體的邊長是根據數字順序依次遞增的，也就是說，第一個立方體的邊長為1厘米，第二個為2厘米，第三個為3厘米，依此類推直至第十個立方體，它的邊長就是10厘米。因此，這些立方體的體積之間所存在的關聯就是從1到10這個數列的立方乘積之比，即，1：8：27：64：125：216：343：512：729：1000。實際上，要製成邊長為2厘米的第二個粉紅色立方體，就需要8個邊長為1厘米的第一個粉紅色立方體；要製成邊長為3厘米的第三個粉紅色立方體，就需要27個邊長為1厘米的第一個粉紅色立方體，依此類推。

第二組工具是用來教導孩子們認識寬度的，稜柱的長度保持不變，但是稜柱的橫截面發生了變化。橫截面的邊長隨著自然計數的序列而變化，第一個稜柱的正方形截面邊長為1厘米，第二個為2厘米，第三個為3厘米，以此類推，直到第十個稜柱，它的正方形截面邊長為10厘米。因此，稜柱相互之間的比例與平方數序列相同（1、4、9等），第一個稜柱邊長為1厘米，那麼4個這樣的稜柱就能構成邊長為2厘米的第二個稜柱，9個這樣的稜柱才能構成邊長為3厘米的第三個稜柱，以此類推。因此，教導孩子認識寬度的10件工具，具有如下的比例關係：1：4：9：16：25：36：49：64：81：100。

為了幫助孩子做相關練習，在我們的教學用具中備有一套木釘，除此之外，我們還給孩子們各種各樣的小東西，包括木棒、小積木和籌碼等。

我們以同樣的方式按順序教孩子計數，根據孩子的表現，每次在原有的基礎上添加一兩個木棒。

在書寫和算術領域，我們積累了辛勤教育的成果，這能夠有效幫助孩子協調肢體動作，形成對世界的初步認識。這些成果的出現是必然的，它源自於人類第一次付出努力讓自己和周遭世界進行有意義的溝通。