《九章算術》已知勾股差與弦求勾股的問題後來也發展為勾股差率與弦率的形式：

這是勾股數組的通解公式的另一種形式，其條件為p、q為互素奇數，2p²-q²是一個完全平方數。秦九韶曾用該公式成功地解決了遙度圓城的十次方程造術。美國數論專家迪克森(Dick-son)1894年提出了勾股數組的另一種形式：。顯然，其雛形便是《九章》勾股章已知弦勾差、弦股差求勾、股、弦的公式。九-九-藏-書

勾股定理x²+y²=z²本身就是一個不定問題，顯然它有無數組解。滿足該定理的有理數組(a，b，c)通常稱為勾股數組，西方稱為畢達哥拉斯數組。如何表示出勾股數組，是兩千多年來數學家們關注的問題。公元前五、六世紀，畢達哥拉斯設一奇數為2a+1=m²，m為正整數，那麼a=½(m²-1)、m、a+1=½(m²+1)就是勾股數組；後來柏拉圖以2m、m²-1、m²+1為勾股數組公式，歐幾里得以√uv、½(u-v)、½(u+v)或mnpq、½mn(p²-q²)、½mn(p²+q²)表示勾股數組，顯然這些表達式並未給出全部勾股數組。九*九*藏*書ｈｔｔpｓ://read•99ｃsｗ.coｍ

世界上第一次給出勾股數通解公式的是《九章算術》勾股章「二人同所立」問。問題是：「今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步而邪東北與乙會。問甲、乙行各幾何？」顯然甲行c+a，乙行b，而(c+a)：b=m：n=7：3。《九章》先求出南行率即勾率a=½(m²-n²)，東行率即股率b=mn，邪行率即弦率c=½(m²+n²)。然後根據已知南行步數，用今有術求出東行和邪行步數。這裏勾、股、弦三率便是勾股數的通解表示式，其為通解的條件是m、n為互素的奇數，《九章》的兩個例題都符合此條件。國外被認為最先給出勾股數組通解公式的是希臘的丟番都，其公式a=2mc/(m²+1)，b=ma-c=(m²-1)×c/(m²+1)，是若令m=u/v，c=u²+v²，則可得到與《九章》等價的公式。丟番都大約與劉徽同時，比《九章》晚了三、四百年。九九藏書read.99csw.com