第十一章 無窮小分割思想
人們一談到早期的無窮小分割和極限思想，往往想到古希臘的窮竭法。實際上，窮竭法並沒有使用極限。在文藝復興之前，在數學中真正使用過極限思想的是中國的劉徽。極限思想在中國萌芽很早。先秦名家有「一尺之捶，日取其半，萬世不竭」的命題，墨家也有無限分割一尺之桿的方法，不過認為不會萬世不竭，而最終歸結為不可再分的「端」。漢司馬遷《史記·酷吏列傳》有「破觚為園〔同圓〕」的說法，直觀地描述了多邊形通過無限分割與圓的轉化關係。而劉徽在世界上最先把無窮小分割和極限思想用於數學證明。
第一節 割圓術
圖35 割圓術
而當n無限大時，rn→0，那麼limn→∞〔Sn-1+2(Sn-Sn-1)〕=Shttps://read.99csw.com
顯然，n愈大，S-Sn愈小，所謂「割之彌細，所失彌少。」(同上)而「割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」(同上)即證明了L=limn→∞6·2nPn。6·2n邊形每邊與圓周間有餘徑rn。以邊長乘余徑，加到6·2n-1邊形面積上，則大於圓面積，即Sn<S<Sn-1+2(Sn-Sn-1)。read.99csw.com
所謂「若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣」。這就證明了圓面積的上界序列與下界序列的極限都是圓面積：S=limn→∞Sn。然後，劉徽說：「以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。」(《九章算術·方田章注》)即將與圓合體的邊數無限的正多邊形分割成無限多個以圓心為頂點，以該多邊形的每邊為底的小等腰三角形，由於以每邊長乘半徑是小三角形面積的二倍，而與圓合體的正多邊形的邊長之和是L，這就證明了S=½Lr。顯然，這裏包含了幾個相當嚴謹的極限過程，並且是通過對圓面積的無窮小分割，再求其和進行證明的。這種方法與微積分產生前的面積元素法極為接近。數學史家史密斯(D.E.Smith，公元1860—？年)把微積分的發展概括為窮竭法、無窮小方法、流數法和極限四個階段。劉徽已完成了前兩個階段，並已有明顯的極限過程。九_九_藏_書
九-九-藏-書對《九章算術》的圓面積公式S=½Lr，在劉徽之前是以周三徑一為基礎，將圓內接正6邊形周長作為圓周長，正12邊形面積作為圓面積，用出入相補原理證明的。劉徽指出，圓的周長與直徑「非周三徑一之率」(《九章算術·方田章注》)，這個證明是不嚴格的。劉徽創造了新的方法：他從圓內接正6邊形開始割圓，得到一個正6·2n邊形序列。設Sn是6·2n邊形面積，pn是每邊長，如圖35。hｔtｐｓ://rｅad.9９csw•ｃｏｍ