p²=2q²（式1）

據式1，p²一定是乘以2的某個數，故p²是一個偶數。但是，奇數的平方一定是奇數（如1²=1，3²=9，5²=25，7²=49）。所以，p本身一定是偶數，可以寫作p=2s，式中s為一個整數。把p代入式1，得：

p²=(2s)²=4s²=2q²read.99csw.com

q²=2s²

畢達哥拉斯學派關於2的平方根的無理性的原始論證稱為謬誤歸約論。謬誤歸約論指的是先假設一種說法是真實的，順理推論，出現矛盾，從而證明該說法是虛假的。茲以現代的實例說明這個理論，即20世紀的一個大物理學家玻爾的一句名言：「一種偉大思想的對立面也是一種偉大的思想。」徜若這個說法是正確的，則推論下去難免要承擔一點風險。以黃金定律為九_九_藏_書例，或者以勸阻撒謊或「你不能殺人」為例，考慮它們的反論，就會明白了。也可以先認定玻爾的名言是一種偉大的思想，那麼，這個說法的對立面呢，即「一種偉大思想的對立面並不是一種偉大的思想」也一定成立。這就是謬誤歸約論的論證過程。徜若反方的說法是虛假的，則這一名言並不會耽誤多少功夫，因為這等於自我承認並非偉大的思想。

設邊長為1個單位（該單位無論是厘米、英寸還是光年都無所謂）的正方形，對角線BC分正方形為兩個直角三角形。根據畢達哥拉斯學說，在這樣的直角三角形中，1²+1²=x²。因為1²+1²＝1+1=2，由此推及x＝2的平方根。假定2的平方根（2^1/2）是一個有理數，2^1/2=p/q，式中p和q均為整數。p和q可以代表任何整數，也可以無窮大，當然也可以認為p和q沒有公因子。設p=14，q=10，得2^1/2=14/10，分子分母都除以2，得p=7，q=5，而不再是p=14，q=10。在任何計算中，分子分母的公因子都要先除掉。p和q可以選用任何數。把 2^1/2=p/q兩邊平方，則得2=(p²)/(q²)。兩邊兩乘以q²，則得：reａd•９９csｗ.coｍhttps://read.99csw.com

下面，根據謬誤歸約論，用現代論證法論證2的平方根的無理性。論證中只要用到簡單的代數法，不必要用到畢達哥拉斯學派發明的幾何論證法。論證的風格和思維的方式至少和結論一樣引人入勝。

最後等式的兩邊都除以2，則得：

因此，q²也是一個偶數。證明過程如上，則q本身也是一個偶數。要是p和q都是偶數，都可以除以2，那麼這兩個數都沒有歸約到最小公因子，這和論證前的假設是矛盾的。這裏謬誤得到歸約。但是，哪一個假設是謬誤的呢？論證過程中並沒有規定公因子不可歸約，也沒有規定14/10可以歸約，7/5不可以歸約。所以，原始的假設一定是謬誤的。p和q不可能是偶數：2的平方根是無理數。事實上2^1/2=1.4142135……九九藏書

這個結論真是出人意外！證明過程真是奇妙！但是，畢達哥拉斯學派卻感到難受，千方百計要掩蓋住這個偉大的發現。