V－E＋F＝2 （式1）

已知n等於3或大於3，因為最簡單的多邊形是具有三條邊的三角形。已知r等於3或大於3，因為至少要三個面夾一個頂角才能構成最簡單的多面體。若n和r同時都大於3，則式4的式邊得數則要小於2/3。這樣，只要E是正數，式4則不成立。於是，再根據謬誤歸約論，則只能出現兩種情況，即或者n＝3，r等於或大於3，或者r＝3，n等於或大於3。

把式2和式3代入式1，則得：

正多邊形（多邊形的英語在希臘語中是多角體的意思）是一個具有n個read.99csw.com等邊的二維物體。因此，n＝3時，是一個等邊三角形；n＝4時，是一個正方形；n＝5時，是一個五邊形如此等等。多面體（希臘語的含義是多邊的）是一個三維的物體，組成多面體的各面都是多邊形。例如，立方體由六個正方形組成。簡單的多面體，或者說正多面體，是沒有空洞的。畢達哥拉斯學派和開普勒研究的本質問題是世界上只能有五面體，而且是正五面體。最容易的證明方法是用畢達哥拉斯的後輩笛卡爾和歐拉發現的關係式。該關係式把正多面體的面的個九_九_藏_書數F，棱的個數E和頂角的個量V聯繫起來：

據此，r只能等於3、4或5。如果r（原文為E。根據上下文，應為r。——譯者注）等於或大於6，則式5不成立。於是，n＝3和r＝3是由 3個三角形共有一個項角構成的多面體。根據式5，這個多面體有6個棱；根據式2，這個多面體有4個面；根據式3，這個多面體有4個頂角。顯然，這是一個金字塔或四面形。n＝3和r＝4是一個具有8個面的多面體，其中4個三角形共有一個項角，即八面體。而n＝3和r＝5是一個具有read.99csw.com20個面的多面體，其中5個三角形共有一個頂角，即20面體（參見本書第53頁）。

同理可得，r也只能等於3、4或5。若n=3，則又是一個四邊形；n=4，則是由六個正方形組成的多面體，即立方體；n＝5，則是由12個五邊形組成的多面體，即12面體。

nF＝2E （式2）

1/r=1/E+1/6（式5）

1/n+1/r=1/2+1/E（式4）

以r代表一個頂角的共有邊的個數，則在立方體中，r＝3。同理，每一個邊都具有兩個頂角。如果把所有的頂角（r九*九*藏*書V）都計算一遍，則每一個頂角也都要計算兩次。因此：

多面體的任何一個棱均為相鄰的兩個多邊形的邊所共有。再以立方體為例，立方體的任何一個棱都是兩個正方形的共邊界。如果把一個多面體的所有面的所有邊（nF）都計算一遍，則每一個棱都要兩次計算。因此：

綜上所述，除了3、4和5外，n和r不可能是其他整數。因此，世界上只能有正五面體。這就是用抽象而漂亮的數學方式推導出來的結果，而這個結果，正如大家都看到的，對人類社會曾經產生過巨大的影響。

若r＝3，則式4變化為：

reａd.９9ｃsw•cｏｍ兩邊都除以2E，則得：

所以，立方體有六個面（F＝6）和8個項角（V＝8）；代入式1，得 8－E＋6＝2，即V14-E=2，E=12。式1計算結果立方體有12個邊，立方體果然有12個棱。本書文獻目錄中列出的Courant and Robbins的著作中用簡單幾何方法證明了式1。根據式1可以證明世界上只能有正五面體。

1/n=1/E+1/6 ，

rV＝2E（式3）

若n＝3，式4則變化為（1/3）+（1/r）=（1/2）+（1/E），或下式：

2E/r-E+2E/n=2