《九章算術》共收集246個應用題，按問題的性質類別分為九章。各章的次序和內容是：1.方田，是關於土地面積的計算，包括矩形、三角形、梯形、圓形、環形、弓形、截球體的表面積的計算。由於計算面積要用到分數，因此這一章還系統講述了分數的運算。2.粟米，講的是比例問題，特別是如何按比例交換各種穀物等。3.衰分，是按等級分配物資或按等級攤派稅收的比例分配問題。4.少廣，是由已知面積和體積，求幾何體一邊的長，講的是由田畝計算引出的開平方和開立方的方法。5.商功，包括了各種工程中體積的計算，以及人工的合理安排問題。6.均輸，是計算如何按人口多少、物價高低、路途遠近等條件，按比例合理攤派稅收和派出民工的問題。7.盈不足，是關於算術中盈虧問題的解決，稱「盈不足術」。此章中也涉及比例問題。8.方程，主要是關於線性方程組的問題。9.勾股，是關於各種測量和幾何計算中勾股定理的應用。

形與數密切結合，是《九章算術》的一個重要特色。在勾股章中，幾何問題都依據勾股定理來解決，提出了幾何圖形的面積、體積和測量「高、深、廣、遠」等問題的解法，反映了當時測量數學的發達以及地圖測繪的水平。在計算面積和體積問題時，要遇到許多開方計算。在《九章算術》少廣章中，給出了開平方、開立方的方法，它們和現今的開方法基本一致，是世界上最早的開方程序。需要指出的是，用算籌列出幾層來進行開平方和開立方的運算，相當於列出一個二次或三次的數字方程，即用上下不同的各層表示一個方程各次項的係數。勾股章有一測望問題就歸結到開帶從平方，即解二次方程。後來，求解高次方程的正根都稱為「開方」，成為中國古代數學中最發達的領域。

《四元玉鑒》寫成的時候，社會上對算學十分尊崇，所以受到重視。明代以後，該書被人們所忽視，到了幾乎失傳的地步。清朝嘉慶年間，阮元在浙江訪得《四元玉鑒》抄本，送交四庫館，後來何元錫將抄本刊印。該書重新刊印后，許多數學家對它進行過研究，其中以羅士琳的《四元玉鑒細草》影響最大，以後的許多版本都源於此書。

《數書九章》，又名《數術》、《數術大略》、《數學大略》、《數學九章》等，《數書九章》的書名是明代後期才出現的。至於原來的書名到現在還不能確定。該書寫成后沒有馬上刊印，僅有抄本流傳，明代將它分類輯入《永樂大典》，清代又從《永樂大典》中抄出，收入《四庫全書》。另有一部自明文淵閣輾轉傳抄出的本子，經沈欽裴、宋景昌彙集各家註釋並進行校勘，于清道光二十二年(公元1842年)由上海郁松年刻入《宜稼堂叢書》，是最為流行的版本。

對於分數的運算，我國很早就進行了深入的研究。《周髀算經》的天文計算中就已經有相當複雜的分數運算，但由於沒有把約分工作做好，所以算草比較繁複。而在《九章算術》中則給出了包括約分、通分、四則運算等在內的一整套分數運演算法則。如書中用「更相減損」術求最大公約數，指出如果分子、分母可以被2整除，就都先除以2，不能被2整除的，則以分母和分子相減，一直減到減數和被減數相等，此數即為最大公約數。這種方法和現代算術中的輾轉相除法基本一致，而當時，除了我們的祖先，只有希臘人知道這個方法。《九章算術》是世界上最早系統敘述分數運演算法則的著作，類似的著作，印度遲至公元7世紀才出現，而歐洲則在15世紀以後才逐漸形成現代分數的演算法。

《九章算術》產生以後，我國古代數學研究有過兩次高潮，第一次是在魏晉南北朝時期。這一時期數學著作的一大特點是為《九章算術》、《周髀算經》作注。據《隋書·經籍志》記載，僅注《九章算術》的著作就有八種。魏晉南北朝時期，由於戰亂不斷，政治鬥爭嚴酷，致使一些人採取以靜制動的方針周旋于紛亂複雜的社會之中，於是清談之風盛行。在思想領域，儒家的統治地位被削弱，取而代之的是以《周易》、《老子》、《莊子》為主的玄學。玄學力圖通過抽象的思辨來論證現實世界的後面有一個產生和支配現象世界的本體，即世界的本原和根本規律。與之相適應，數學家們也開始重視數學理論的研究，試圖把以前積累的數學知識建立在必然性的基礎之上，三國趙爽的《周髀算經注》和晉代劉徽的《九章算術注》就是典型代表。在這一時期，還出現了一些新的數學著作，彌補了《九章算術》所未涉及的內容，開創了數學研究的新的分支。其中即有劉徽的《海島算經》。該書原本附於《九章算術注》之後，後人將它獨立成書。書中討論了由《周髀算經》測日高法發展而來的重差術，並因書中首題是測量一海島的高遠而得名。《孫子算經》，約成書于公元400年前後，記述了籌算記數制度和乘除法則、分數和開方等。其中最著名的是「物不知數」題，書中提示的解法被後世推廣成一次同余式組解法，由於是本書中首先提出這一課題，因此被史家稱為「孫子定理」。《張丘建算經》，公元5世紀張丘建所著，主要成就是最大公約數與最小公倍數的應用、等差級數、開帶從平方和不定方程等，著名的「百雞問題」就是出於此書。北周甄鸞著有《五曹算經》、《五經算術》、《數術記遺》三種數學著作。《五曹算經》是一部為地方行政官員編寫的應用算術書，其中有十進位小數的萌芽；《五經算術》對儒家經典中需要數學知識的部分作了註釋；《數術記遺》介紹了三種大數進位制及14種演算法，反映了當時改進計算工具的歷史情況。這一時期還有許多數學著作沒能流傳到今天，比較著名的有《夏侯陽算經》、祖沖之的《綴術》、董泉的《三等數》，前二種被收入唐代的「算經十書」，后一種在唐代也是教科書。《綴術》在數學上的rｅaｄ•9９ｃｓw•ｃｏm成就極高，書中將圓周率精確到3.1415926到3.1415927之間，同時在球體積問題、二三次方程正負係數的開方問題等方面都有重大突破。

劉徽注對數學的貢獻還有許多方面。如它發展了《九章算術》的率概念，定義率為「凡數相與者謂之率」，即數與數相互關聯為率，並討論了率的性質，用率理論論述了《九章算術》的大部分內容。書中認為今有術是普遍方法，九章中的許多問題的解法都可以歸結到此術。今有術即比例方法，已知比例式中的三項求第四項，例如a：b=c：d，已知a、c、b，則d=bc/a。這種方法古代印度也有(三率法)，但有關記載要晚于《九章算術》，16世紀該法由阿拉伯人傳入歐洲，在商業上得到廣泛應用，被譽為黃金法則。另外，劉徽注中對求弧田面積、圓錐體積、球體積、十進分數、解方程等問題，以及對分數性質的論述、正負數的定義等，都有獨到的見解。

秦九韶(約公元1202—約1261年)字道古，自稱為魯郡(今山東曲阜、兗州一帶)人，生於普州安岳縣(今四川安岳縣)，是南宋著名的數學家、天文學家。他18歲就當過義兵的首領，但後來在仕途上卻歷經曲折。秦九韶自幼聰明好學，而且興趣廣泛。他對於天文、音律、算術、營造等都有深入的研究，至於遊戲、弓馬、踢毬、劍術等，對他來講也是駕輕就熟的。可以說秦九韶是一個不可多得的通才，這對於他以後博採眾長、觸類旁通，在數學上取得巨大成就，不能說沒有影響。公元1247年，秦九韶總結了自己多年數學研究的心得，寫成《數書九章》。

《九章算術》唐宋間又稱《九章算經》、《黃帝九章算經》，是中國古代最重要的數學經典。據魏晉間劉徽《九章算術注》序載，西漢時數學家張蒼、耿壽昌在秦始皇焚書劫餘的殘篇的基礎上，對該書進行了增訂刪補。現代研究者認為，《九章算術》並非出自一人一世之手，而是數代人辛勤努力的結晶，最後成書當在西漢末到東漢初年。在中國，該書在千余年間被直接用作數學教育的教科書；它還影響到國外，朝鮮和日本都曾用它當過教科書。

從明代開始，中國古典數學開始衰落，當時的數學著作也不少，但在創造性上遠不及宋元算書。不過，這一時期的數學仍有兩件影響深遠的大事。一件是1408年編修《永樂大典》，將明代以前的數學著作分類抄入，許多數學著作都賴此才得以留傳到今天。另一件是隨著籌算簡捷演算法的日臻完備，珠演算法也得到了發展和普及。如吳敬的《九章演算法比類大全》、王文素的《通證古今算學寶鑒》、朱載堉〔yu育〕的《算學新書》等，除了介紹籌算方法外，都提到了珠算。特別是程大位於公元1592年寫成的《演算法統宗》，系統地介紹了算盤的使用方法，曾風行一時，流傳甚廣。

《數書九章》的數學成就還表現在更多方面。在方程術上，也就是線性方程組的解法上，它使用了互乘相消法，即讓兩個方程的x項係數互乘各方程，用一次相減就可以達到消去x項的目的。這種方法免去了直除法連續相減的麻煩，和今天人們普遍應用的方法完全一樣。該書中還將《九章算術》和《海島算經》中的測望之術發揚光大，對勾股、重差問題有許多創造發明。特別值得一提的是「三斜求積公式」，即用三角形三邊求面積的公式，它和西方的海倫公式是各自獨立發明的，卻又不謀而合。另外，《數書九章》中對自然數、分數、小數、負數都有專條論述，並有所發展，是研究中國古代記數法的重要資料。

《數書九章》全書81問，分為九大類，每類各九問。九大類分別是：1.大衍類，敘述「大衍求一術」並用之解決各種實際問題；2.天時類，有關曆法制定、天象測算、計算降雨降雪量等的數學問題，其中的天池盆是世界最早的雨量器；3.田域類，是關於各種形狀的田地面積的計算，反映了江南人民圍海、圍湖造田等活動；4.測望類，討論勾股測量，涉及測望山、水、城、塔和敵軍的遠近以及古迹的修復等問題；5.賦役類，是關於田賦、戶稅問題的計算，反映了南宋賦稅的實際情況；6.錢穀類，是關於糧食轉運和倉庫容積問題，設計了由於南宋各地加大量器、增加田租造成器量混亂而帶來的數學計算問題，還記載了南宋發行世界上最早的紙幣會子及新舊會子的兌換情況；7.營建類，解決的是工程施工中的數學計算，其中計造清台問是世界上現存最早的天文台設計圖；8.軍旅類，是關於營盤布置、測算敵方人數，以及軍需供應等方面的問題，這和當時宋金、宋元戰事激烈有關，有為戰爭服務的目的，在古代算書中比較少見；9.市易類，處理商業貿易和利息計算等問題，保存了許多南宋商品交易和相關政策的史料。

從《數書九章》的分類和內容上看，很明顯，它受《九章算術》的影響是深刻的，與現實生活有著緊密的聯繫，反映了當時社會經濟、文化、政治、科學技術等各種活動的一個側面。秦九韶在本書的自序中曾說：數學「大則可以通神明，順性命，小則可以經世務，類萬物」，將數學提到了極高的地位。但是，他將數學與世界本源聯繫起來，認為「數與道非二本也」，又說明他受到了當時理學思想和象數學的影響。

朱世傑(生卒年不詳)，字漢卿，自號松庭，家住燕山，也就是今天的北京附近。元朝統一中國后，結束了南北對峙的局面。朱世傑曾在全國各地周遊20多年，一面進行數學研究，一面從事數學教育活動。通過長期和廣泛的遊歷，他對南北數學研究所取得的成就都有深入的了解，成為身兼兩個數學中心之長的著名學者。當朱世傑游至揚州時，四面八方來向他學習的人日益增多。為了滿足學員的要求，他便開始著書，以供學員們使用。公元1299年，他寫成《算學啟蒙》，由趙元鎮刊刻印九-九-藏-書行。1303年，《四元玉鑒》完成，也由趙元鎮刊印。

南宋秦九韶撰寫的《數書九章》是中國古代重要的數學著作，宋元數學高潮的代表作之一。

漢代成書的《九章算術》，是先秦至西漢數學知識的總結和升華，在數學的許多方面取得了在當時世界領先的成就，確立了中國古代以計算為中心的數學體系。另外，我們前面談到的《周髀算經》，由於其中的數學內容，也被後世視為重要的數學著作。

「今有(數人)共買物，(每)人出(錢)八，盈三；(每人)出(錢)七，不足四。問人數、物價各幾何？」這是《九章算術》盈不足章的一個應用題。書中創造性地應用了兩次假設法，來解決這類問題。設人數為x，物價為y；每人出錢為a₁，盈為b₁；每人出錢為a₂，不足為b₂，則有下列等式：x=(b₁+b₂)/(a₁-a₂)，y=(a₂b₁+a₁b₂)/(a₁-a₂)。

提到為《九章算術》作注，就不能不提到劉徽。劉徽是我國古代一位非常傑出的數學家，生活在公元3世紀。由於《九章算術》產生年代較早，又非出自一人一世之手，所以也有著自身的缺欠。如文字簡奧、部分內容抽象程度不高，還有對問題只給出解法和答案，缺乏必要的解釋和證明等。劉徽從幼年開始，就反覆研究《九章算術》，後來他採集前人研究成果，並融入自己的數學心得，寫成了《九章算術注》一書，對《九章算術》進行了全面的解釋和論證。

宋元時期，社會相對穩定，經濟穩步發展，特別是工商貿易的發達，對實用數學知識的渴求，為數學發展創造了條件。當時出現了許多「捷法」和「歌訣」等，以幫助人們迅速掌握各種記算方法。另外，在這一時期，印刷術已得到廣泛應用，並且發明了活字印刷，促進了數學著作的刊印。宋元豐七年(公元1084年)，秘書省刊刻了十部算經，作為學校的課本，這是印刷本算書在我國首次出現。當時數學家撰寫的數學著作大都能在成書不久就刊印行世。數學著作憑藉印刷術得以空前廣泛地流傳。在這種背景下，宋元數學研究掀起了又一次高潮，特別是在13世紀下半葉，湧現出了秦九韶、李冶、楊輝、朱世傑等一批傑出的數學家，一時間群星閃爍，成就輝煌，可以說是中國古代數學發展中一個登峰造極的階段。11世紀上半葉賈憲《黃帝九章算經細草》的問世，標志著我國演算法系統在代數學上的飛躍，書中創造的求高次方程係數的「開方作法本源圖」(賈憲三角)和增乘開方法超越其他民族幾個世紀。差不多同時期的沈括在《夢溪筆談》中首創隙積術，開創了高階等差級數求和這一新的分支，還提出了弓形弧長的近似公式。蔣周著的《益古集》用二次方程解決圓的各種關係問題，對天元術的發展也做出了貢獻。12世紀劉益的《議古根源》再次引入負係數方程，並創造了益積開方術和減從開方術，南宋楊輝稱之為「實冠前古」。南宋時期，由於宋遼、宋金、宋元在政治上長期南北對峙，因此數學研究也形成了南北兩個中心。南方中心以秦九韶、楊輝為代表，以高次方程數值解法、同余式解法及改進乘除捷法為主要研究對象。秦九韶的著作是《數書九章》，其中有兩項舉世矚目的重要成就，一個是首次系統解決了一次同余式組的解法，一個是提出了求高次方程正根的完整方法。楊輝的著作很多，主要的有《詳解九章演算法》和《乘除通變本末》、《田畝比類乘除捷法》、《續古摘奇演算法》。后三部是楊輝晚期作品，後世合稱《楊輝演算法》。在楊輝的著作中，收錄了不少現已失傳的各種數學著作中的算題和演算法，如賈憲的「增乘開方法」和「開方作法本源圖」等，並且在二階等差級數和乘除簡捷演算法上都取得了很高的成就。北方數學中心以李冶為代表，以列高次方程的天元術及其解法為主要研究對象。李冶在前人的基礎上，系統地總結了天元術。他的《益古演段》和《測圓海鏡》是現存最早講述天元術的著作，前者是為初學天元術的人寫的入門著作；後者則藉助勾股、方圓等幾何關係建立高次方程，從而全面系統地介紹天元術的理論和演算法，其中豐富的幾何內容和演繹推理的傾向為古代數學著作中罕見。元統一中國后，南北數學的交流就成了順理成章的事。朱世傑就生活在這一環境下。他有兩部著作，《算學啟蒙》是一部數學啟蒙讀本，包括了從乘除捷法到增乘開方、天元術、高階等差級數求和等當時數學各方面的內容；《四元玉鑒》是朱世傑的成名作，其中介紹了二、三、四元高次方程的布列和解法，並在高階等差級數求和問題上有重大突破，兩項成就都早於西方數百年，成為宋元數學高峰的代表作。

劉徽的注，修正了《九章算術》中的錯誤，發展了其中的數學理論，充實和完善了《九章算術》的數學體系，是所有為《九章算術》作注的著作中最重要的一部。

垛積招差術，即高階等差級數求和，是《四元玉鑒》中的另一項重大成就。它們主要被記載於茭草形段、如象招差、果垛疊藏三門中。關於垛積的研究，最早的要算是沈括，在《夢溪筆談》中，他為計算用酒罈堆積的長方台的酒罈數，提出了一個新的計算公式——隙積術，其後楊輝又給出了三角垛、方垛、果子垛等公式，但這些公式實際上可以看成沈括隙積術的特例。到了朱世傑，垛積術的研究出現了全新的局面。《四元玉鑒》中的垛積公式共有三大類：1.三角形，包括茭草垛、三角垛(或稱茭草落一形rｅad.9９ｃｓｗ•ｃｏｍ垛)、三角撒星形垛(或稱三角落一形垛)、三角撒星更落一形垛；2.嵐峰形，包括四角垛、嵐峰形垛、三角嵐峰形垛(或稱嵐峰更落一形垛)；3.值錢形(垛積物的價格逐層遞增或遞減)，包括茭草值錢正垛、茭草值錢反垛、三角值錢正垛、三角值錢反垛、四角值錢正垛、四角值錢反垛。三類中，三角形垛積公式是最基本的。由於朱世傑在書前的賈憲三角中增加了平行於兩斜邊的連線，再加上他用「落一」、「更落一」表示幾種三角垛積的關係，所以，人們認為朱世傑已掌握了一般三角形垛的求和公式。同樣道理，朱世傑也掌握一般嵐峰形垛的求和公式，而第三類公式可以從前兩類公式推導而出。

除了上述成就外，朱世傑的創造性工作還表現在幾乎全書的每一門中。例如，他突破了有理式的限制，開始討論無理方程。又如，在幾何學上，他在傳統的勾股和體積、面積的計算的基礎上，進一步研究了勾股形和圓形內各幾何元素的關係，使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內部，體現了數學思想的進步。

《數書九章》的數學成就遠遠超過了在此之前的數學著作，僅就一次同余式組解法和高次方程數值解法兩項來說，已代表了中世紀世界數學發展的主流與最高水平，是中國數學史上光彩奪目的一頁。

明朝末年，西方數學傳入，開始了中西數學融會貫通的新階段。清代的數學著作非常多，據有人初步統計，中算家有600多人，著作在千種以上。但是，從總體水平上看，已經落後于西方。

《四元玉鑒》中的招差問題和垛積問題互為表裡，也是該書最精彩的部分之一。在朱世傑以前，招差問題是獨立發展的一門知識，它和我國古代曆法中計算天體運行有著密切關係。公元206年，劉洪在《乾象曆》中首次提出用一次內插法計算月亮的變速運動，隋初劉焯《皇極曆》中使用了二次內插法，到元代郭守敬等人已採用三次差分的內插法原理計算日月五星的運動。而朱世傑則將垛積和招差聯繫起來，在世界上第一次給出了包括四次差的內插公式。書中明確指出，公式中的各項係數是三角垛的積。由於朱世傑已經掌握了三角形垛的構造規律，所以一般認為他已得到任意高次的內插法公式。在歐洲，直到17世紀格列高里、牛頓等人才取得同樣的結果。

直到明中葉以前，在數學的許多分支領域內，中國在世界上一直處於遙遙領先的地位。傳說早在黃帝時代，隸首就創造了數字元號和計算方法。《史記》中記載大禹治水時已使用了規、矩、準繩。從出土文物看，公元前三四千年的西安半坡遺址和公元前二千年的河南偃師二里頭遺址出土的陶文中就有了數字；而通過對商代甲骨文中數字的研究，我們發現其中已具有了位置值制的萌芽，形成了十進位的數字系統。十進位記數法是我國古代人民對世界人民的一項不可磨滅的貢獻。

劉徽是我國古代數學理論的奠基者。他在《九章算術注》的序中說：「事類相推，各有攸(所)歸，故枝條雖分而同本干者，知發其一端而已。」意思是說有許多數學問題，表面上看不相同，但在理論上卻有著共同的根源。這種邏輯推理思想，在中國古代數學發展中極為重要。在解釋和論證數學問題時，他認為要「析理以辭，解體用圖」，既要有語言論述，也要結合圖形進行直觀的證明。這種數與圖結合的方法是中國古代數學證明的一種獨特的方法。

《四元玉鑒》全書三卷，共24門，288問。書首先給出四種圖；古今開方會要之圖，給出了增乘開方法的圖示和九層八次方的賈憲三角；四元自乘演段之圖、五和自乘演段之圖、五較自乘演段之圖則是圖示處理幾何問題時立方程的各個步驟。四圖之後是假令四草，給出了一氣混元、兩儀化元、三才運元、四象會元四個例題，分別闡述天元術、二元術、三元術、四元術的解題模式。這些圖和例題都是為了舉例發凡，是統御全書的綱紀。在全書其他各問中，朱世傑沒有再記出任何一題的算草。這種寫作形式在中國古代數學著作中是一種獨特的創造。之後是各卷內容。上卷六門：1.直段求源，關於勾、股、弦的計算問題；2.混積問元，田畝面積問題；3.端匹互隱，有關綾、羅等紡織品的各種計算；4.廩粟回求，穀物容積問題；5.商功修築，工程建築問題；6.和分索引，關於分數的各種運算。中卷10門：1.如意混和，把性質不同的問題混和以增加問題難度；2.方圓交錯，有關方、圓的混合問題；3.三率究圓，以古率π=3、微率157/50、密率22/7計算有關圓與球的問題；4.明積演段，與勾股形(直角三角形)有關的各種計算；5.勾股測望，用勾股定理及相似勾股形測算距離；6.或問歌彖〔tuan〕，以詩歌形式給出的問題；7.茭草形段，垛積問題；8.箭積交參，關於方箭、圓箭的垛積問題；9.撥換截田，截割田畝的面積問題；10.如象招數，招差術問題。下卷八門：1.果垛疊藏，垛積問題；2.鎖套吞容，相互交錯的圖形的面積計算；3.方程正負，線性方程問題；4.雜范類會，是各種雜題；5.兩儀合轍，關於勾股及面積的二元二次方程組；6.左右逢元，關於勾股及面積的二元高次(三次以上)方程組；7.三才變通，關於勾股問題的三元方程組；8.四象朝元，關於勾股問題的四元方程組。

元代朱世傑著的《四元玉鑒》是宋元數學read.99csw.com高潮的又一部代表作，在中國古代數學史上有著重要地位。

《九章算術》方程章中的方程術，也就是線性方程組的解法，可以說是這部經典中最傑出的成就。由於中國古代使用算籌表示各項數字，因而書中採用了分離係數法表示方程，相當於現在的矩陣。在解方程中，它所使用的方法叫「直除法」，和現在通用的加減消元法基本一致，是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在歐洲，到17世紀萊布尼茲才提出線性方程組的完整解法，比我國要晚15個世紀還多。在列方程移項、合併同類項(損益術)和消元過程中會出現負數。《九章算術》在這部分中首次引入了負數概念，並提出了正負數的加減法則，而且在實際運算中進行了正負數的乘除。在世界數學史上，這是第一次突破了正數範圍，擴充了數系的概念。

戰國至西漢，是我國以《九章算術》為代表的古代數學體系確立的時期。在春秋戰國之交，我國社會完成了生產關係的轉變，人們的生產積極性大為提高，興修水利，開墾土地，改進耕作技術，同時手工業和商業也得到進一步發展。在這些活動中，數學知識得到普遍應用，為數學的發展提供了新的動力。如《考工記》中就有許多表示直角、鈍角、銳角和分數等的專門術語。這時的思想界也異常活躍，諸子興起，百家爭鳴，不僅在社會文化方面取得了豐碩的成果，而且促進了思維規律方面的研究。其中的墨家和名家尤為重視邏輯推理和理性思辨，他們提出的一些命題具有深刻的數學內涵。像《墨經》中關於圓、平、端(點)等數學概念的定義就已十分嚴謹。應該說這時已具備了對數學知識進行總結整理的條件。據《周禮》記載，當時「士」階層所受的數學教育有「九數」之稱。「九數」指的是數學分為九個細目。東漢鄭玄注《周禮》時引鄭眾之說：九數是「方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。」這與現傳《九章算術》的篇目基本相同，只是第九為旁要而不是勾股。《周禮》一般認為成書于戰國，因此，至遲在戰國時代，由九數發展起來的數學著作可能就存在了。1983年底在湖北江陵張家山西漢墓中出土的《算數書》，是我國目前所見最早的數學著作，其中有許多內容與《九章算術》相似，有些標題和算題甚至完全一致。由於該書文字古樸，一般認為很可能是先秦著作或錄自先秦著作。

《九章算術》的主要部分採取了以演算法統率應用題的形式，即或先列出幾個例題，再給出抽象性的術文，此時例題一般只有題目、答案；或先給出抽象性的術文，再列出例題，此時例題一般有題目、答案和具體術文。在九章中，有近百個普遍性公式和解法，已包括現在中小學數學的相當大的一部分內容。如在分數的四則運算、比例、面積和體積、開平方、開立方、正負數、一次方程組、二次方程、勾股定理等方面，書中都有較完備和詳細的敘述。

這種方法被稱為「盈不足術」，書中用它解決盈虧問題和一些數學雜題。「盈不足術」在大約公元9世紀傳到阿拉伯，被稱為「中國演算法」，相同的方法西方直到13世紀才首次在義大利數學家斐波拿契的著作中出現。

「大衍求一術」是秦九韶最得意的傑作，也是中國古代數學的一項偉大成就，因此秦九韶將它放在該書的首位是非常合適的。早在公元4世紀前，《孫子算經》中提出過這樣一個問題，用現在的話說就是：有一個數，用3除它餘2，用5除它餘3，用7除它餘2，求這個數。這就是著名的「孫子問題」，也是一個一次同余式組的問題。在中國古代曆法中推算上元積年，也遇到了解同余式組的問題。對於這類問題，《孫子算經》給出的解法過於簡略，而曆法中也沒有形成系統的演算法，甚至誤認為是線性方程組的解法。直到秦九韶的《數書九章》才首次比較系統地解決了這類問題。秦九韶方法的關鍵是用「奇數」和「定數」輾轉相除及一整套計算程序，求出滿足要求的「乘率」。因為計算「乘率」的輾轉相除要直到最後餘數為1時止，所以秦九韶把它稱為「求一術」。在秦九韶的問題中，數據可以是整數，也可以是分數、小數，他都給出了相應的化解程序。總之，秦九韶在世界上第一次系統地解決了一次同余式組問題，而且計算步驟相當嚴密。過了500多年，歐洲的尤拉和高斯等人才對聯立一次同余式進行了較為深入的研究。「大衍求一術」被介紹到西方后，引起了歐洲學者的高度重視。西方數學史家稱這一定理為「中國剩餘定理」，德國著名數學史家康托稱讚發現這一演算法的中國數學家是「最幸運的天才」。

劉徽注在數學史上的另一大貢獻是用「割圓術」求得圓周率π值。中國古代很長一段時間π值取的是3。劉徽認為這隻是圓內接正六邊形周長與直徑的比率，是不正確的。他首先肯定圓內接正多邊形的面積小於圓面積，而將邊數屢次加倍后，面積也相應增大，邊數越多，那麼圓內接正多邊形的面積就越接近圓面積。他寫道：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」這句話反映了劉徽的極限思想。從計算圓內接正六邊形面積開始，劉徽依次計算圓內接正十二、二十四、四十八……一百九十二邊形的面積，得到圓周率近似於3.14。據說他還不滿意，又繼續推算出π=3927/1250(相當於3.1416)的數值，這是當時世界上圓周率的最佳數值。從理論上講，利用劉徽注中的方法可以將圓周率計算得非常準確。研究者們一般認為，南朝祖沖之在《綴術》中將圓周率精確到八位有效數字，即3.1415926和3.1415927之間，就用了劉徽的方法。劉徽的方法奠定了我國圓周率計算在世界上領先千年的基礎。

在我國的上古及夏商周時代，一些專門技能和知識往往掌握在少部分人手中，並且世代相傳。那時數read.99csw.com學和天文的專門人才被稱為「疇人」。到了春秋時代，周室衰微，政權下移，疇人子弟四散，私學開始興起，數學知識逐漸普及。同時生產的發展，也促進了數學知識和計算技能的提高。從古代文獻中我們得知，九九乘法表在當時是人們的常識，分數概念和分數運算也已形成，特別是像營造都城這樣的大型土木工程，無疑需要更為複雜的數學運算。可見，春秋時代我國的數學已有了較高的水平，只是沒有專門的數學著作傳世而已。

在《四元玉鑒》中，幾乎所有問題都與方程或方程組有關，其中主要記載了朱世傑的偉大創造——四元術。我們知道，用解方程的方法解決實際問題，一般來說都需要兩個步驟。首先是列出含有未知數的方程，然後才是解方程求出它的根來。列方程，古代稱「造術」，這對於今天具備初等數學知識的人來說是輕車熟路，然而在天元術未出現以前，卻並不簡單。當時數學家們列方程只有藉助文字敘述，非常複雜。金元之際，北方出現了一批有關天元術的著作，李冶的《測圓海鏡》是現存最早系統論述天元術的著作。所謂「天元術」，實際上是列方程的一種代數方法。天元術中「列天元一某某」，就是「設x為某某」的意思，方法是在籌算的一次項旁寫上「元」字，或在常數項旁寫上「太」字。天元術的出現解決了一元高次方程的列方程問題。據記載，李德載的《兩儀群英集臻》和劉大鑒的《乾坤括囊》分別對二元術和三元術作了研究，但他們的著作都沒有流傳下來。流傳至今並將其發展成四元術的是朱世傑的《四元玉鑒》。四元術用天、地、人、物四元表示四元高次方程組。它是在常數項右側記一「太」字，天、地、人、物四元和它們的乘冪的係數分別列在「太」字的下、左、右、上，相鄰二未知數和它們的乘冪的積的係數，記入相應的兩行相交的位置上，不相鄰的幾個未知數的積的係數，記入相應的夾縫中。這實際上是多元高次方程組的分離係數表示法。朱世傑還創造出一套完整的消未知數方法，稱為四元消法。通過逐次消元，最後得到只含一元的方程式，然後用增乘開方法求正根。雖然由於受到籌算的局限，朱世傑只達到四元高次方程，但這一成果卻在世界上長期處於領先地位。直到18世紀法國數學家別朱才系統敘述了高次方程組消元法問題。

在該書的第二——九類，秦九韶使用了《九章算術》以來的許多數學方法，並有創造性發展，其中最重要的是求高次方程正根的正負開方術。在我國古代，解一般高次數字方程叫做「開方」，《九章算術》中就已經記載了開平方和開立方的方法，後來一般的二次方程和三次方程的數值解法，分別被稱為「開帶從平方」和「開帶從立方」，就是因為它們都是從開平方和開立方的方法中推衍出來的。開方術在宋代取得了重大發展。首先是賈憲創造了「增乘開方法」，通過隨乘隨加的方法，可以求出高次方程的正根。12世紀劉益又引入負係數開方，方程的係數可正可負，取消了方程係數只允許為正整數的限制。到了南宋，秦九韶在《數書九章》中提出了「正負開方術」，也就是利用隨乘隨加逐步求出高次方程正根的一套完整的程序。在秦九韶的方法中，除因運算需要規定「實」(常數項)常為負之外，沒有任何限制，是任意高次方程的一般解法，和現在求高次數字方程正根的方法基本一樣。而現代演算法是義大利人魯斐尼在1804年和英國人霍納在1819年提出的，也就是人們熟知的魯斐尼—霍納方法，比秦九韶晚了600多年。秦九韶還發揮了劉徽創造的繼續開方計算「微數」的思想，開方到無理根時，用十進小數作無理根的近似值，這也是世界數學史上最早的貢獻。

《九章算術》取得的數學成就是全面的、傑出的，奠定了它在中國古代數學中的崇高地位，稱它為中國算經之首是毫不過分的。該書對以後的數學著作產生了極其深遠的影響。從內容上講，《九章算術》的九部分內容確定了中國古代數學的基本框架，形成了中國古代數學以計算為中心的特點；九章246個問題，大都來自人們生產、生活的實際需要，開創了數學理論密切聯繫實際的風格；全書沒有任何數字神秘主義的內容，體現了樸素的唯物主義觀點，併為以後的數學著作樹立了榜樣。從全書結構上講，《九章算術》一般有「題」、「答」、「術」三個部分，這種以術統題的方法，逐漸形成了中國古代數學著作的一種基本形式。《九章算術》以後，中國古代數學著作主要採取兩種模式，一種是以該書為楷模編寫新的著作，一種是為該書作注。

隋唐統治者在國子監設算學館，在科舉考試中設明算科，唐代還將漢唐間的十部重要數學著作加以整理註釋，作為算學館的教科書。這十部著作是《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《綴術》和《緝古算經》。其中《緝古算經》是唐初王孝通所著，書中20個問題大部分用高次方程求解，是現存最早的介紹開帶從立方(即求三次方程的正根)的數學著作。中唐以後，由於工商業有較大發展，人們對簡化籌算計算過程的要求較為迫切，於是出現了不少有關實用數學的著作，如龍受益的《演算法》、江本的《一位演算法》、陳從運的《得一算經》等。但是這些著作都沒能傳到今天，只有韓延的一部算書因原來的《夏侯陽算經》失傳，被冠以《夏侯陽算經》之名補入「算經十書」，才流傳下來。該書中記載了相當多的捷算方法，並對十進小數進行了推廣。總的來說，唐代數學研究的成就不高。除了一行等人的二次內插法外，沒有什麼重大突破。究其原因，是唐代統治者對數學的重視不夠，習學數學的人社會地位非常低，遠不如以儒家經典和詩詞歌賦中舉的人地位高。但是，唐代對古代算書的整理以及算學知識的普及卻為宋元數學的發展奠定了基礎。