第四章 面積與體積
中國古代的幾何一般不討論圖形離開數量關係的性質，而要計算出長度、面積、體積。面積、體積問題主要集中在《九章算術》及其劉徽注中，其他算經中也有涉及。
第一節 多邊形面積
長方形在古代叫方田，《九章》提出的面積公式是「廣從步數相乘得積步」。古代「廣」指東西的長度，「從〔zong縱〕」指南北的長度，則面積S=ab。劉徽對這一公式未證明，而是給出了面積定義：「凡廣從相乘謂之冪。」冪的涵義與今天指乘方不同。
秦九韶的三斜求積術是已知三角形三邊求其面積的方法：今有一三角形田，小斜13里九-九-藏-書，中斜14里，大斜15里，其面積的求法是：「以小斜冪並大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上。以小斜冪乘大斜冪，減上，余，四約之，為實。一為從隅，開平方得積。」(《數書九章》卷五)這段話用現代符號寫出便是：
三角形叫圭田，《九章》提出的面積演算法是「半廣以乘正從」，廣即底，正從即高，公式為S=½ah。劉徽記載了以盈補虛的證明方法，將三角形拚補成長方形，如圖1所示。以盈補虛，又稱出入相補，是中國古代解決
read.99csw.com面積、體積、勾股等問題的主要方法之一。
圖2 邪田之出入相補
圖1 圭田之出入相補
直角梯形，《九章》稱之為邪田，其面積的計算公式是S=½(a1+a2)h，其中a1、a2、h是上、下rｅaｄ•９９csｗ.ｃｏm底及高，也是拚補成長方形以證明其面積，如圖2所示。一般梯形叫箕田，它可分解成兩個邪田，其面積公式同上。
根號下的多項式分解因式便成為½(a+b+c)·½(a+b-c)·½(c+a-b)·½(b+c-a)。可見三斜求積公式與古希臘海倫公式是等價的。秦九韶還用三斜求積術解決了四不等田的面積。