為左式，(-2z³+5z+11z+13)x+(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=0

以左式x的係數乘前式，得到(z³-4z²-4z+7)x²+(-z⁴+2z³+9z²+10z+7)x+(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=0

解：設x為勾a，y為股b，z為弦c，由已知條件列出x+y+z-xy(z-y)=0或-xy²+xyz-x-y-z=0(今式)。

以x乘前式，得(-z+1)x³+(z²+z+1)x²+(-2z²-z-2)x=0

-x²+x+xz+y-z=0(雲式)。

與之相消，得-3x²+(4z+4)x+(-z²-4z)=0

4z⁴-24z³+16z²+24z-20=0

並將人元擺到天元上。互隱通分相消，得到(-z²+3z+7)x+(z³-3z²-7z-6)=0

z=5

四元術就是多元高次方程組解法，它實際上包括四元術表示法和四元消法兩部分內容。

以3乘前式，得(-3x+3)x²+(3z²+3z+3)x+(-6z²-3z-6)=0https://read.99csw.com

以前式左行(-z+1)乘后式，(-z+1)x³+(2z³-2)x²+(-z³-3z²+2z+2)x+(2z³-2z)=0

四元術的表示方法是常數項居中，旁記一「太」字，天元冪係數居下，地元居左，人元居右，物元居上，其冪次由它們與「太」字的位置關係決定，不必記出天、地、人、物等字，距「太」字愈遠，冪次愈高，相鄰兩元冪次之積記入每行列的交叉處，不相鄰之元的冪次之積無相應位置，寄放在夾縫中，如圖33。一個籌式相當於現今的一個方程式，二元方程組列出兩個籌式，三元方程組列出三個籌式，四元方程組列出四個籌式。這是一種分離係數表示法，對列出高次方程組與消元都很方便。可惜由於平面只有上、下、左、右四個方向，最多只能列出四元，高出四元的方程組便無能為力。

又以z乘前式(-z²+z)x²+(z³+z²+z)x+(-2z³-z²-2z)x=0

兩者相消，得(-z²+3x+7)x+(z³-3z²-7z-6)九九藏書=0為左式。

將y=-x²+x+xz-z代入三元式，便得到后式：x³-2x²+2x-2x²z+4xz-2z+xz²-2z²=0

以雲式減今式，以x除，並將y²=z²-x²，y=-x²+x+xz-z代入，便得到前式：x²+x-x²z+xz-z+xz²-2z²-2=0

z⁴-6z³+4z²+6z-5=0

為右式。

兩者相消，得(z²-z-3)x²+(-z³-z²+3z+4)x+(2z³-2z)x=0

四元術的核心是四元消法，即將四元四式消成三元三式，再消成二元二式，最後化成一元一式，即高次開方式。朱世傑《四元玉鑒》卷首的「假令細草」中列出了天元術、二元術、三元術和四元術的範例。謹將第3問「三才運元」的消法解釋如下。

問題是：「今有股弦較除弦和和與直積等。只雲勾弦較除弦較和與勾同，問弦幾何？」即已知(a+b+c)÷(c-b)=ab，(-a+b+c)÷(c-a)=a，及勾股定理a²+b²=c²，求c。其解法是：(見第133—135頁)

以前式x²的係數(-z+1)及x乘左式，得(z³-4z²-4z+7)x³+(-z⁴+4z³+4z²-z-6)x=0兩者相消為右式：(-2z³+5z²+11z+13)x+(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=0］read.99csw.com

［以前式左行(-z+1)乘此式，得(3z-3)x²+(-4z²+4)x+(z³+3z²-4z)=0

內二行相乘得(z³-3z²-7z-6)(-2z³+5z²+11z+13)=-2z⁶+11z⁵+10z⁴-43z³-146z²-157z-78

x²+y²-z²=0(三元式)。

兩者相減應為0

外二行相乘得(-z²+3z+7)(2z⁴-5z³-15z²-13z-14)=-2z⁶+11z⁵+14z⁴-67z³-130z²-133z-98

同樣

草曰：立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦。三才相配求得今式，求得雲式，求得三元之式，以雲式剔而消之，二式皆人易天位，前得，后得，互隱通分，相消，左得，右得。(羅士琳細草：以前式左行齊之，得，消前式，得，又以前式消之，得。復以前式左行齊之，得，三因前式，得，消之得為左式。以左行齊前式得；以以前式左行齊左式，得，相消得為右式。內二行得，外二行得，內外相消，四約之，得開方式，三乘方開之，得弦五步。ｈttps://reaｄ.9９ｃｓw.cｏｍrｅａd•99cｓｗ.coｍ

由於朱世傑的文字過於簡括，「互隱通分相消」所引用羅士琳細草，只是提供一個大體說明消元過程的例子。至於是否符合朱氏原意，不得而知。事實上，許多學者有不同的細草。